Heute dreht sich in unserem Blog-Beitrag alles um den Wurm Willi. Willi ist hungrig. Er sitzt auf dem Anfangsstück eines Gummitwist-Bands, welches die Kinder Luca und Sophie am Haus befestigt haben. Am anderen Ende des Bands halten die beiden Willis Lieblingsspeise, einen Apfel, den Willi schon erblickt hat. Er macht sich also auf den Weg, kommt in seinem Kriechen auf dem Band allerdings mit 1 cm pro Minute nur langsam voran. Da das Gummiband einen Meter lang ist, wird er zwar eine ganze Zeit unterwegs sein, aber die Aussicht auf den Apfel treibt ihn an.

Nachdem er gerade den ersten Zentimeter überwunden hat und also noch 99 cm vor ihm liegen, beginnt das Spiel für Luca und Sophie: Sie ziehen das Gummiband in die Länge, und zwar um einen weiteren Meter auf zwei Meter Länge. Zwar hat sich Willis Entfernung von der Hauswand durch das Ausdehnen des Gummibandes auch von 1 cm auf 2 cm erhöht, sein Ziel ist nun jedoch 198 cm entfernt. Willi gibt aber nicht auf. Er kriecht erneut einen Zentimeter. Aber Luca und Sophie ziehen das Gummiband einen weiteren Meter auseinander und Willi kann sein Ziel, bevor er erneut 1 cm weiterkriecht, nun schon kaum noch in 2,955 m Entfernung erkennen. Am einfachsten kann man den weiteren Verlauf mit dem Computer ausrechnen. Nach 50-mailiger Wiederholung des Spiels hat sich Willi, bevor er weiterkriecht, gerade einmal knapp 2,25 m von der Hauswand entfernt, das Gummiband ist aber 50 m lang, sodass der Restweg auf 47,75 m angewachsen ist.

Nehmen wir nun etwas großzügig an, dass das Gummitwist-Band sich beliebig weit dehnen lässt und sowohl Willi als auch Luca und Sophie sehr große Ausdauer besitzen. Was meinen Sie: Wird Willi dann jemals seinen heißersehnten Apfel erreichen, obwohl der Restweg, den Willi noch vor sich hat, zunächst beständig größer wird?

Die erstaunliche Antwort ist: Ja. Und auch wenn es im ersten Moment vielleicht nur schwer zu glauben ist, so ist die intuitive Erklärung nicht kompliziert. Der Grund liegt darin, dass bei der Ausdehnung des Gummibandes auch der von Willi schon zurückgelegte Teil mitgedehnt wird. Der Anteil des Gummibands, den Willi zurückgelegt hat, ändert sich beim Auseinanderziehen also nicht. Und immer, wenn Willi sich vorwärtsbewegt, wird dieser Anteil größer. Nach einem ersten Kriechen hat Willi 1 cm von einem Meter geschafft, der Anteil ist also 1/100, nach der zweiten Runde hat er bereits 3 cm der Strecke von 2 Metern überwunden, also einen Anteil von 3/200 = 1/100 + 1/200. Nach dem dritten Kriechen ist der Anteil gerade 1/100 + 1/200 + 1/300 = 1/100 x (1/1 + 1/2 + 1/3). Allgemeiner hat Willi so nach dem n-ten Kriechen einen Anteil von

1/100 x ( 1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n )

des Gummibandes überwunden. Damit kommt er immer weiter voran, wenn auch der Anteil immer langsamer wächst. Man nennt dabei die Summe

1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n-1) + 1/n

auch die n-te harmonische Zahl und man weiß, dass diese harmonischen Zahlen für wachsendes n über alle Grenzen wachsen. Sehr schön ist das etwa auf https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reiheerklärt. Willi kann also tatsächlich den Apfel erreichen – zumindest in der Theorie. Denn wenn man den genauen Wert ausrechnet, so kommt man auf eine Dauer von vielen Abermilliarden Jahren. In der Praxis muss Willi weniger lange kriechen, denn Luca und Sophie haben schnell ein Einsehen und ziehen das Gummiband nicht weiter, so dass sich Willi genüsslich seinem Apfel zuwenden kann.