Essen Sie gerne Schokolade? Freuen Sie sich auch über verschiedene besondere Schokoladenkreationen in der Weihnachtszeit? Mit etwas Glück finden Sie diese hübsche Tafel irgendwo im Handel.

Aber Achtung! Nicht gleich aufessen! Wir wollen erst noch ein wenig Mathematik damit machen.

Was kann man alles an dieser Tafel beobachten?

Vielleicht dieses (und noch mehr): Sie sieht sehr regelmäßig aus mit lauter gleich geformten Bäumchen. Die weißen stehen richtig herum, die braunen über Kopf. Ganz rechts ist ein Fehler, da ist ein weißer Klecks, der das Muster stört. Ansonsten wechseln sich braune und weiße Bäumchen ganz regelmäßig miteinander ab, gleichfarbige stoßen nur an den Ecken aneinander.

Es ergeben sich zwei ganz gerade Linien, an denen man die Schokolade auseinander brechen könnte, allerdings würde das drei sehr lange „Stangen“ ergeben. Dann gibt es noch die schrägen gezackten Linien. Ob man sich da mundgerechtere Stückchen abbrechen könnte? Haben Sie noch ein wenig Geduld, bevor Sie das ausprobieren. Wir spielen noch ein paar Gedankenspiele, bevor die Schokolade gegessen werden darf!

Wie wäre es eigentlich, wenn wir auch noch Bäumchen in zartbitter (schwarz) haben wollten?
Wie müssten die Bäumchen in den 3 Farben angeordnet werden? Natürlich sollen Bäumchen gleicher Farbe nicht direkt aneinander grenzen, sondern sich höchstens in einem Punkt berühren. Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten?

Falls Sie das an das berühmte Landkarten-Färbungs-Problem erinnert, so liegen Sie genau richtig! Hier geht es darum, wie man eine Landkarte mit möglichst wenigen Farben so einfärbt, dass benachbarte Länder unterschiedliche Farben erhalten. Bei unserer Schokolade ist das schon perfekt gelöst: 2 Farben reichen aus.

Wir lassen also das Optimalitätskriterium weg und überlegen in einer luxuriöseren Variante: 2 Farben würden ausreichen, aber nein, wir wollen lieber 3 Farben (also Schokoladensorten) verwenden, weil es besser schmeckt! Finden Sie dafür mehrere verschiedene Anordnungen? Welche finden Sie am schönsten?

Und warum klappt das überhaupt mit den Bäumchen als Schokoladenstückchen? Sonst sind doch Schokoladenstücke meist rechteckig.

Sehen wir uns eine in dreieckige Stücke aufgeteilte Schokolade an (hier gibt es übrigens auch alle drei Schokoladensorten, aber sie sind horizontal übereinandergeschichtet …):

Auch hier entstehen diese langen waagerechten Linien und dazu schräg liegende Linien. Woher kommen denn diese Geraden?

Bei einer Schokolade, die aus Sechseck-Stücken besteht, würde das nicht passieren, aber wäre das überhaupt praktisch als Schokoladentafel?

Bei der Rechteckstückchen-Schokolade sieht man es schnell: Es stoßen immer 4 rechte Winkel aneinander, die es zulassen, dass die Seitenkante des Rechtecks geradlinig verlängert wird. Das ist sehr praktisch, wenn man die Schokolade in Stückchen brechen will!

Bei der Dreieckschokolade entstehen deshalb lauter Geraden zwischen den Stückchen, weil die drei Innenwinkel jedes Dreiecks sich gegenseitig zu 180 Grad ergänzen (dies ist der Innenwinkelsummensatz für ebene Dreiecke). Wenn man das immer gleiche Dreieck nun wie in der Schokoladentafel parkettiert, d.h. lückenlos verlegt, dann kommen in einem Punkt alle drei verschiedenen Winkel des Dreiecks zusammen. Dank des Innenwinkelsummensatzes für Dreiecke wissen wir, dass das dann zusammen den gestreckten Winkel von 180 Grad ergibt. Es gilt automatisch für alle Punkte, an denen jeweils 6 Dreiecke zusammenstoßen, dass dort jede Dreiecksseite geradlinig durch eine nächste Dreiecksseite verlängert wird.

Diese Linien sind im Dreiecksparkett also von selbst da und können nur vermieden werden, wenn man die einzelnen Reihen von Dreiecken gegeneinander verschiebt. Sobald es nicht mehr um Schokolade, sondern um gepflasterte Böden geht, wird das interessant, weil man da solche langen Geraden lieber vermeidet, damit sich die Pflasterung nicht unter dem Einfluss von Bodenbewegungen durch Baumwurzeln etc. verschiebt. Bei der Schokolade ist es gerade der Vorteil, dass man sie entlang dieser Geraden auseinander brechen kann. Niemand wäre über solch eine Schokolade besonders froh:

Und nun noch eine letzte Überlegung, die uns von dem Genuss der Schokolade trennt:
Wieso passen die Zacken der Bäumchen so genau ineinander? Am besten finden Sie das heraus, indem Sie versuchen, solche Bäumchen selbst herzustellen, z. B. aus Papier. Fangen Sie dabei mit einem Dreieck an und schneiden an den Seitenlinien etwas heraus. Dabei gebe ich Ihnen einen wichtigen Tipp: nichts wegschmeißen! Versuchen Sie das Abgeschnittene wieder anzukleben! Entdecken Sie den Trick?

Das, was Sie unten an der Seitenlinie wegschneiden, müssen Sie oben über Kopf wieder ankleben (aber dabei nicht die Ober- und Unterseite des Papiers vertauschen!) und zwar mit dem gleichen Abstand zum Mittelpunkt der Seitenlinie wie sie das abgeschnittene Stückchen hat. Mit dieser punktsymmetrischen Gestaltung der Seitenlinie bereiten Sie vor, dass Sie das gleiche Bäumchen über Kopf daneben legen können. Und nun nochmals die gespiegelte Seitenlinie auf der anderen Seite, dann ist das achsensymmetrische, parkettierbare Weihnachtsbäumchen fertig. Zugegeben, es ist nicht einfach, dabei etwas herauszubekommen, das wirklich wie ein schöner Weihnachtsbaum aussieht, aber das Prinzip haben Sie nun verstanden!

Jetzt können Sie nach Herzenslust herumexperimentieren und ganz neue Schokoladenstückchenformen kreieren!

Zur Belohnung gibt es nun …

… Schokolade!

 

Bildnachweis Weihnachtsschokolade: Christoph Eyrich. Alle übrigen Fotos: Brigitte Lutz-Westphal