Manchmal sind auch einfache statistische Rätsel Inspirationsquellen für Fortschritte in ganz anderen Gebieten der Mathematik. So auch das folgende Experiment: Anna und Bernd haben je eine Euromünze, die sie jeweils mehrmals nacheinander werfen. Anna wirft so lange, bis zum ersten Mal der „Adler“ zweimal direkt hintereinander oben liegt. Wenn wir kurz „A“ für Adler und „Z“ für Zahl schreiben, dann hört sie also auf, sobald AA erscheint. Ein paar Beispielwurffolgen sind also: AA, ZAA, aber manchmal kann es auch deutlich mehr Würfe erfordern, so etwa bei ZAZZZAZAA. Bernd spielt ein ganz ähnliches Spiel: Er wartet, bis der Adler gefolgt von Zahl erscheint, also AZ (in dieser Reihenfolge). Die Frage ist nun, wer von beiden im Mittel länger warten muss. Was meinen Sie?

Die meisten Menschen tippen spontan darauf, dass beide gleich lang werfen müssen – schließlich ist die Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen der beiden Kombinationen jeweils 1/4 (der erste Münzwurf tritt mit 1/2 ein, genauso wie der zweite). Die Sache ist aber etwas komplizierter. Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna oder Bernd nach zwei Würfen schon aufhören können, ist zwar noch gleich. Schauen wir aber einmal, was bei drei Würfen geschieht. Dabei können acht mögliche Wurffolgen auftreten:

AAA Anna hört nach zwei Würfen auf
AAZ Anna hört nach zwei Würfen auf, Bernd nach drei Würfen
AZA Bernd hört nach zwei Würfen auf
AZZ Bernd hört nach zwei Würfen auf
ZAA Anna hört nach drei Würfen auf
ZAZ Bernd hört nach drei Würfen auf
ZZA keiner hört auf
ZZZ keiner hört auf

Wie schon erwartet, ist die Wahrscheinlichkeit, bereits nach zwei Würfen erfolgreich zu sein, für Anna und Bernd gleich: nämlich 2/8=1/4. Genau drei Würfe zu benötigen, tritt für Anna aber nur in 1 von 8 Fällen auf, bei Bernd aber in 2 von 8. Bernd hat also eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass seine Kombination zuerst erscheint. Insgesamt kann man ausrechnen, dass Anna im Mittel sechs Würfe benötigt, während Bernd mit vier auskommt, damit zum ersten Mal ihre Münzkombinationen geworfen werden. Dazu ist allerdings mehr als die Berechnung in den ersten drei Runden nötig. Aber eigentlich reicht es doch fast aus. Für die Frage, ob nämlich etwa in der zehnten Runde die gewünschte Kombination auftritt, sind nur die Ergebnisse in der neunten und zehnten Runde entscheidend und es spielt keine Rolle, was zuvor passiert ist. Versuchen Sie es einmal selbst!

Die Lösung geben wir hier für Berechnung Annas Fall an.

Diese kleine Aufgabe wurde in einem Kurs an der amerikanischen Stanford-Universität behandelt, den auch der Zahlentheoretiker Kannan Soundararajan besuchte. Sie inspirierte ihn und seinen Kollegen Robert Lemke Oliver dann aber zu einer neuen Erkenntnis über Primzahlen:

Eine Primzahl ist bekanntermaßen eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die ersten der unendlich vielen Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … Abgesehen von der 2 und der 5 enden alle Primzahlen auf eine der Ziffern 1, 3, 7 oder 9, und es ist bekannt, dass all diese Endziffern im Mittel gleich häufig auftreten – ganz ähnlich wie die zwei Seiten beim Werfen einer Münze. Nachdem Soundararajan von der Münzwurf-Aufgabe erfahren hatte, fragte er sich, wie es sich mit den Endziffern von zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen verhält. Seine vorige Vermutung war, dass diese sich nicht gegenseitig „beeinflussen“. Diese Ansicht wurde von den meisten Zahlentheoretikern in diesem Bereich geteilt. Der Hintergrund ist, dass die meisten Mathematiker die Verteilung der Primzahlen für rein „zufällig“ halten. Die Primzahlen sind durch ihre Definition zwar klar festgelegt, aber in der Verteilung der Primzahlen sind nahezu keinerlei Muster zu erkennen.

Wie wir in dem Münzwurfbeispiel gesehen haben, ist die Frage aber keineswegs so klar, wie es im ersten Moment scheint. Und tatsächlich stellten Soundararajan und Lemke Oliver fest, dass zwei aufeinanderfolgende Primzahlen deutlich seltener auf die gleiche Ziffer enden, als man erwarten würde. Untersucht man etwa die ersten 1 Milliarde Primzahlen, so sieht man, dass auf eine Primzahl, die auf 9 endet, 65 Prozent häufiger eine Primzahl folgt, die auf 1 endet, als eine, die ebenfalls 9 als letzte Ziffer hat. Obwohl sich Generationen von Mathematikern intensiv mit Primzahlen beschäftigt haben, schien dies bisher niemandem aufgefallen zu sein. Neben dieser rein numerischen Beobachtung fanden die beiden Mathematiker sogar eine theoretische Erklärung für dieses Phänomen. Und damit wurde durch eine kleine statistische Aufgabe eine weitreichende neue Entdeckung zu Primzahlen ermöglicht.