Sterne, Drei- und Vielecke, runde und längliche Kugeln und symmetrische Figuren. Das klingt natürlich nach Weihnachten, aber auch nach Mathematik. Nun soll man natürlich Weihnachten in erster Linie mit der Familie verbringen, gut essen und trinken. Aber der eine oder andere Blick auf die offene und versteckte „Festtags-Mathematik“ kann ja auch viel Freude bereiten.

Wir wollen uns auch nicht lange im Advent aufhalten, obwohl man auch schon am Adventskranz einige Mathematik ausprobieren kann und beispielsweise den exakt gleichen Abstand zwischen den vier Kerzen genau berechnen kann. Auch die Brenndauer der Kerzen kann von Bedeutung sein. Wenn man nicht will, dass der Stummel der ersten angezündeten Kerze am 24. Dezember schon so klein ist, dass die Gefahr eines Wohnungsbrandes immer größer wird, kann man die angenommene Brenndauer mit der Kerzengröße in Beziehung setzen.

Der Weihnachtsbaum

Aber unser Thema ist ja Weihnachten. Natürlich gehört zu jedem schönen Weihnachtsfest ein imposanter Baum. In der Regel eine Tanne oder Fichte, die – im Idealfall – ein Dreieck bildet. Oben spitz zulaufend, unten gleichmäßig und ausladend. Gezeichnet lässt sich so ein Baum mit mehreren gleichschenkligen Dreiecken darstellen.

Interessant sind auch die Weihnachtsbaum-Statistiken. Jedes Jahr werden alleine in Deutschland etwa 25 Millionen solcher Bäume verkauft. Zu 90 Prozent stammen diese aus heimischer Produktion. Größter Exporteur – vor allem von Nordmanntannen – ist Dänemark. Private Haushalte mit mehr als drei Personen stellen zu 80 Prozent einen Baum zu Weihnachten auf, wobei immer mehr KäuferInnen auf kleine Bäume zwischen 1.50 und 1.75 Meter zurückgreifen. Die Nordmanntanne war 2017 mit 75 Prozent Anteil der beliebteste Baum. Danach folgen Blaufichte mit 15 Prozent Anteil, sonstige Fichten mit sieben Prozent und schließlich Edeltannen mit lediglich drei Prozent.

Hoch muss er sein …

Ein wahrer Wettbewerb ist bei der Höhe der Bäume auf öffentlichen Plätzen entbrannt. Höher, höher und immer noch höher ist hier die wenig weihnachtliche Devise. Seit Jahren protzt in Deutschland die Stadt Dortmund mit seinem 45 Metern hohen „Mogelbaum“. Tatsächlich wird beim Dortmunder Baum geschummelt, denn er setzt sich aus 1.700 einzelnen Rotfichten zusammen, die auf einem Gerüst befestigt sind. Der wahrscheinlich wirklich höchste freistehende Weihnachtsbaum schmückt die Gemeinde Eichsel an der deutsch-schweizerischen Grenze bei Basel. Dieser Baum wächst dort seit 1902 und hatte 2017 eine Höhe von 36 Metern erreicht. Ganz sicher ist er in diesem Jahr wieder um einige Zentimeter gewachsen!

Risikoweihnachten?

Doch je höher die Bäume sind, umso größer ist auch das Risiko bei starkem Wind zu brechen. Die BewohnerInnen von Eichsel brauchen allerdings mit ihrem fest in der Erde verwurzeltem Baum weniger Angst haben als die Menschen, die sich um einen gefällten und nur verankerten Baum scharen. Um die Bruchsicherheit bei Windböen zu berechnen, muss die Mathematik ran. So haben beispielsweise Mitarbeiter von TreeConsult nachgerechnet. Hier ihr Ergebnis: „Die 26,5 m hohe Fichte am Marienplatz in München wird bei Orkanböen von 117 km/h unter Berücksichtigung der Flexibilität der Äste und des Stammes einem Winddruck von ca. 1,7 to in 13 m Höhe ausgesetzt. Das Orkanmoment beträgt demnach 169 kNm (Kraft mal Hebelarm). Da der lastabtragende Stammquerschnitt nur 51 cm (minus 2 cm Rindendicke) beträgt, ist der Baum statisch ausgereizt. Die Bruchsicherheit des Baumes beträgt 126 Prozent; d.h. dieser Weihnachtsbaum verfügt bei Orkanböen nur noch über ein geringfügiges Sicherheitspolster von 26 Prozent.“

Ungewöhnlich und vielfältig ist die Festsetzung der Steuer, die beim Kauf anfällt. Nicht weniger als fünf verschiedene Steuersätze liegen auf dem traditionellen Schmuckstück. Für künstliche Plastikbäume möchte der Fiskus eine Umsatzsteuer von 19 Prozent. Stammt der Baum aus einer Plantage und wird dort vor Ort gekauft, ist ein Steuersatz von nur 10,7 Prozent zu entrichten. Im Baumarkt oder Gartencenter bezahlt man für eine ungeschmückte Tanne oder Fichte mit sieben Prozent noch weniger. Direkt beim Forstwirt sind 5,5 Prozent zu entrichten, während ein Kleinunternehmer gar keine Umsatzsteuer erheben muss.

Früher war mehr Lametta

Steht der Baum dann endlich sicher am vorgesehenen Ort, taucht eine weitere Frage auf. Wie soll der Baum geschmückt werden? Sollen es diesmal nur selbst gebastelte Sterne sein oder soll er doch wieder im Glanz unzähliger Kugeln erstrahlen? Nicht immer gelingt es den SchmückerInnen, hier das richtige Maß zu finden. Da helfen die Formeln zweier MathematikerInnen der britischen Universität in Sheffield. Die beiden Mathematikstudierenden Nicole Wrightham und Alex Craig haben 2016 verschiedene Formeln entwickelt, mit denen die genau richtige Menge an Lametta und Kugeln, die optimalen Höhe der Sterne und die passende Länge der Lichterkette bestimmt werden kann. Antenne Niedersachsen berichtete 2016 über diese weihnachtsweltbewegende Errungenschaft und zitiert ein Beispiel: Legt man eine 160 Zentimeter hohe Nordmanntanne zugrunde, dann müssen exakt 33 Kugeln eingesetzt, ein 16 Zentimeter hohen Stern auf die Spitze montiert, 8,17 m Lametta verschmückt und eine gut 5 Meter lange Lichterkette verwendet werden. Mathematisch ausgedrückt errechnet sich z. B. die Anzahl an Christbaumkugeln, indem man die Wurzel aus 17 durch 20 dividiert und dieses Ergebnis dann mit der Höhe des Baums in Zentimetern multipliziert. Die einzelnen Formeln findet man im hier.

Ist der Baum geschmückt, sollte man sich den Schmuck einmal genauer ansehen. Ja, da hängt an den Zweigen überall Mathematik. Die Kugel als besonderer geometrischer Köper. Der Studienkreis Nachhilfe beschreibt diese Schmuckstück so: „Dieser geometrische Körper besteht aus einer Kugelfläche, deren Punkte alle denselben Abstand zum Mittelpunkt M der Kugel aufweisen. Dieser Abstand ist der Radius r der Kugel. Der doppelte Radius entspricht dem Durchmesser der Kugel. Die Kugel lässt sich nicht weiter auseinandernehmen, sie besteht also weder aus einer Grund- oder Deckfläche, noch aus einer Mantelfläche“. Auch die Sterne bieten da einiges, wie z. B. die fünfzackigen Sterne, die allesamt dem Goldenen Schnitt entsprechen. Ein Tipp: Den Baum einmal mit selbstgebastelten geometrischen Körpern wie Kugel, Tetraeder, Würfel (oder Hexaeder), Oktaeder, Pentagondodekaeder oder Ikosaeder zu schmücken. Bastelanleitungen gibt es etwa bei „mathe.aufgabenfuchs.de/koerper/koerper-bastelvorlage.shtml“ oder auch bei www.vismath.eu/de/bastelboegen.

Der Kampf (der Männer) mit dem Geschenkpapier

Kommen wir zum Schluss noch zu einem besonders heiklen Punkt, an dem augenscheinlich vor allem Männer immer wieder scheitern und der Frage: „Wie packe ich meine Geschenke besonders schön und akkurat ein?“ Auch dafür bietet die Mathematik Lösungen an! In einem Artikel der „Oberhessischen Presse“ von 2013 erklärt die an der Uni Marburg lehrende Mathematikprofessorin Ilka Agricola einige Tricks, bei denen sie sich auf den großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß beruft. Nicht für Männer tröstlich ist ihre Feststellung, dass bestimmte Geschenke einfach nicht optimal zu verpacken sind. Als Beispiele hierfür nennt sie Bälle, Reitsattel oder Trompeten. „Seit Gauß weiß man, dass jeder Körper eine Krümmung hat, die eine innere nicht veränderbare Eigenschaft ist. Papier jedoch ist eine ebene Fläche und hat die Krümmung Null. Der Fußball dagegen hat eine positive Krümmung. Gauß erkannte, dass man eine Fläche niemals mit einer umwickeln kann, die eine andere Krümmung innehat“. Keine Ausrede allerdings gibt es bei Geschenken, die aus geraden Flächen zusammengesetzt sind, egal ob eben oder zu Zylindern verformt, weil sie immer die Krümmung Null haben. Wenn es in diesen Fällen also nicht mit der perfekten Geschenkumhüllung klappt, kann die Mathematik nichts dafür. Da sind entweder mangelnde Geduld und/oder mangelnde Übung Schuld.

In diesem Sinne wünsche ich Ihnen mathematische, fröhliche & besinnliche Weihnachten!

Ihr Rudolf Kellermann