„Beim Arbeiten mit dem Taschenrechner von Windows 95 ist mir etwas Merkwürdiges aufgefallen: Bei der einfachen Rechenaufgabe 2 + 4 x 2 gibt der Standardrechner das Ergebnis 12 aus, was jedoch falsch ist, da die Regel. `Punktrechnung vor Strichrechnung´ gilt. Stelle ich über den Menüpunkt ‚Ansicht’ auf den wissenschaftlichen Rechner um und gebe die gleiche Rechenaufgabe noch einmal ein, dann erscheint das richtige Ergebnis. Handelt es sich hierbei um einen Programmfehler?“

Schon 1998 erreichte diese Zuschrift eines Lesers die Zeitschrift c’t. Schaut man in die unterschiedlichen Foren im Netz, taucht das Problem immer wieder auf: Der Taschenrechner hat sich verrechnet! Ganz egal, ob die Rechenhilfe auf einem Windows- oder Apple-Rechner läuft oder auf einem mobilen Taschenrechner, egal welchen Herstellers.

„Wir kennen das Problem“, sagt Prof Martin Weiser vom Zuse-Institut in Berlin, der mit seinem Vortrag „Wer traut noch dem Computer oder ist π=0?“ die unterschiedlichsten ZuhörerInnen überrascht. Besonders SchülerInnen sind immer wieder in ihrem Vertrauen in die Maschine erschüttert, wenn sie auf ihrem mitgebrachten Rechner selbst zu dem Ergebnis kommen: „Der Rechner spinnt ja!“.

Aber warum spinnt der Computer? Eine mögliche Ursache ist schon im ersten Absatz erwähnt. Die meisten billigen Rechner sind so programmiert, dass sie die Regel Punkt- vor Strichrechnung einfach nicht wissen. C’t meinte dazu: „Der Standardtaschenrechner von Windows 95 verhält sich wie ein Billigmodell aus dem Supermarkt. Wer auf Nummer Sicher gehen will, sollte immer den wissenschaftlichen Rechner auswählen. Dieser verhält sich dann auch wie ein teures Modell für Schule und Studium, sogar mit „Punkt vor Strich“. Na gut, das Problem hat Windows mittlerweile behoben. Ebenso wie das Problem bei Windows 10. Dieser Rechner kannte einfach den 26. März nicht. Mit der Folge, dass immer, wenn bei einem Rechenvorgang dieses Datum eine Rolle spielte, es zu falschen Ergebnissen kam.

Nun sind solche falschen Ergebnisse zwar für die einzelnen Nutzer unschön, haben aber nicht die Tragweite wie etwa im Golfkrieg 1991, als eine irakische Rakete in Dhahran in Saudi-Arabien einschlug, weil das Patriot-Raketenabwehrsystem versagte. Die Ursache dieses fehlgeleiteten Angriffs war eine Auslöschung bei der Flugbahnberechnung. Dieser Rechenfehler kostete immerhin 28 Menschen das Leben, etwa 100 wurden verletzt. Auch für den Absturz des Börsenindex in Vancouver 1983 war eine fehlerhafte Rundung des Rechners bei den Indexberechnungen der Grund.

„Die Ursache hierfür sind häufig Programmierfehler, teilweise jedoch auch Rundungsfehler, die sich am Beispiel der Berechnung der Zahl PI (π) erläutern lassen. Denn diese Berechnung ist nie genau und birgt somit Unsicherheiten“, so Martin Weiser. Bekanntlich ist die Kreiszahl PI das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser. Der Wert ist etwa 3,141529 und dann kommen viele, viele weitere Ziffern. Die Dezimalstellen hinter dem Komma gehen nämlich ins Uferlose. Unter MathematikerInnen ist daher ein richtiger Wettbewerb ausgebrochen, um die nächste richtige Kommastelle zu finden. Das ist extrem schwierig und erfordert größte Anstrengungen. Die Tatsache, dass ein Kreis rund ist, macht die Berechnung so anspruchsvoll. Aktuell liegt der von dem Schweizer Peter Trüb aufgestellte „Weltrekord“ bei immerhin 22,4 Billionen Stellen hinter dem Komma. Die Zahl PI hat also etwas Magisches und Aufregendes.

Man findet Hinweise auf die Zahl PI schon bei den alten Ägyptern, Babyloniern oder Griechen. Die erste wirkliche schriftliche Herleitung für PI geht auf den griechischen Mathematiker und Physiker Archimedes (287-212 vor unserer Zeitrechnung) zurück. Er schachtelte in einen Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) regelmäßige Vielecke ein. Besonders geeignet erschien ihm dabei das 6-Eck, weil die Seiten eines regelmäßigen 6-Ecks so lang sind wie der Radius des Umkreises. Wenn der Radius 1 ist, ist demnach auch die Seitenlänge 1. Damit stand schon damals die 3 vor dem Komma als Ergebnis fest. Aber Archimedes gab sich damit nicht zufrieden, untersuchte ein 12-Eck, dann ein 24- und 48-Eck und gelangte schließlich zum 96-Eck. Auf diese Weise erhielt er eine untere und eine obere Grenze für den Kreisumfang und damit auch für die Zahl PI. Erstmals war PI mit 3,14 auf zwei Stellen hinter dem Komma genau bestimmt. Noch heute lernt man in der Schule, dass PI=3,14 ist. Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben π für PI tauchte allerdings erst im 17. Jahrhundert auf. Der große Mathematiker Leonhard Euler griff diese Bezeichnung auf und machte sie durch seine Publikationen populär.

Die Kunst der Berechnung des Kreis-Durchmesser-Verhältnisses ist es somit, sich mit einer immer größeren Anzahl der Ecken im Kreis Schritt für Schritt dem tatsächlichen Wert anzunähern. Mathematisch heißt es dann: Je mehr Ecken das n-Eck hat, desto genauer ist die Näherung des Umfangs. Damit wird die Annäherung an den tatsächlichen Kreisumfang zwar immer genauer, aber nicht perfekt. Kommt man also bei einem 6-Eck schon auf die 3, bringt das 12-Eck schon die 1 hinterm Komma, genauer sogar 3,10583. Wie wir gesehen haben wusste schon Archimedes, dass die Näherung immer genauer wird, je größer man n wählt. Die Werte werden immer besser und die Genauigkeit immer größer. „Haben wir also bei einem 6-Eck einen Wert von 3,0000 kommt man beispielsweise bei einem 24576-Eck schon auf einen Wert von 3,141593. Aber wir wollen ja immer näher und dann stellt man fest, dass im Computerprogramm ab einem 393216-Eck die Werte wieder ungenauer werden. Das führt dazu, dass irgendwann der fehlerhafte Wert größer wird als PI und irgendwann auf Null fällt. Alles korrekt gerechnet, trotzdem kommen wir zu der falschen Aussage, dass PI gleich Null sei,“ so Martin Weiser. Oh je. Wo steckt der Fehler? Die berechneten Seitenlängen werden kleiner und kleiner und fallen plötzlich auf Null!

Dazu muss man sich anschauen, wie Zahlen im Computer gerechnet werden. Dort werden nämlich die Zahlen halblogarithmisch dargestellt. Dabei kommt es häufig zu einem Ergebnis mit mehr Ziffern als der Rechner darstellen kann. Der Computer hilft sich damit, dass er schlauerweise einfach rundet. Mit der Folge, dass das Ergebnis nur noch relativ genau ist. „Wird er dann beim Weiterrechnen auch noch gezwungen, zwei sehr kleine Zahlen voneinander abzuziehen, vernichtet diese Subtraktion sehr kleiner Zahlen Informationen wie etwa die genaue Seitenlänge. Diese Informationen sind jedoch für ein exaktes Ergebnis wichtig. Es kommt zu einem Rundungsfehler mit Folgen.

„Im Alltag bei kleinen Rechenaufgaben ist das meist noch zu vernachlässigen. In komplexen mathematischen Berechnungen jedoch nicht. So führen Rundungsfehler dazu, dass Produkte mangelhaft werden oder diese Fehler haben solche gravierenden Auswirkungen wie – oben geschildert – im Golfkrieg 1991 oder 1983 in Vancouver an der Börse“, weiß Martin Weiser zu berichten.

Da unsere moderne Gesellschaft zunehmend von Computerberechnungen abhängig wird, ist die Vermeidung der Rundungsfehler von ungeahnter Aktualität. Wenn sie sich massiv aufsummieren, können sie zur vollkommenen Unbrauchbarkeit des Resultats mit ungeahnten Folgen führen. Aber Martin Weiser gibt auch Entwarnung: „Da wir mittlerweile dieses Phänomen kennen, können wir durch die richtige Wahl der Berechnungsvorschriften diese Fehler in den meisten Fällen vermeiden“.

Der gesamte Vortrag von Prof. Martin Weiser ist unter http://www.zib.de/weiser/talks.html#Pi online.