In mehreren kleinen Artikeln wollen wir Sie in die wunderbare Welt der Spiralen entführen. Diese findet man nicht nur in der Technik oder der Natur, sondern auch in der Kunst.

Damit wollen wir eine interessante Verbindung zwischen Mathematik und Kunst aufzeigen. Es geht um die Spiralen, die wir an vielen Objekten und in Bildern entdecken können. Wir zeigen zunächst einige Beispiele, die wir im Laufe der Zeit gesammelt haben.

Da ist als erstes die folgende Reklame für Süßigkeiten. Groß und prächtig hängt der Lutscher von der Decke, hergestellt aus verschiedenfarbigem Zucker.

Die Balkonsockel im folgenden Bild sieht man an vielen historischen Balkonen, vor allem in Italien.

Den wunderschönen Blumen- und Farbenteppich fanden wir auf Sizilien. Er wird dort aus Anlass der Fronleichnamsprozession in katholischen Gegenden auf die Straße gelegt.

Weiter unten werden wir weitere Beispiele zeigen. Sie glauben gar nicht, wo überall Spiralen „lauern“.

Die Kreisevolvente

Das Wort „Evolvente“ kommt aus dem Lateinischen, „evolvere“ heißt dabei abwickeln. Das beschreibt uns schon sehr genau, um welche Art Kurve es sich handelt. Wir können nämlich eine Kreisevolvente auf einem Blatt Papier erzeugen. Sie ist einfach die Abwickelkurve eines Fadens, der um einen kreisförmigen Gegenstand gewickelt ist. Schauen Sie sich das folgende Bild an.

Wir geben hier die Parameterdarstellung der Kreisevolvente an, weil sie einfach dazugehört. Dabei bezeichnen wir mit t die Länge des abgewickelten Fadens:

x(t) = cos t + t sin t

y(t) = sin t – t cos t

Was Sie sofort erkennen und was sich auch sofort aus der Konstruktion als Abwickelkurve ergibt, ist die Tatsache, dass die Spiralarme alle im gleichen Abstand zum Nachbararm laufen. Weil sich ein weiter außenliegender Arm nach einer vollen Abwicklung am Kreis ergibt, ist der Abstand der Arme genau der Umfang des zugrunde liegenden Kreises. Dieser Kreis heißt übrigens dem Lateinischen folgend die Evolute der Spirale. Die Stammformen von evolvere lauten ja evolvo, evolui, evolutus. Die Evolute ist also das, von dem abgewickelt wird, also der innere Kreis.

Die Evolventen haben eine große Bedeutung bei Zahnradgetrieben. Damit die Zahnräder möglichst wenig aneinander gleiten, was sofort Reibungsverluste und Wärmenentwicklung bedeuten und zur Zerstörung des Getriebes führen würde, sind Evolventenverzahnungen extrem wichtig, da sie diese Probleme minimieren.

Evolventen treten außerdem an einer ziemlich ungewöhnlichen Stelle auf. Bei Langstreckenläufen im Stadion, also bei 800 m oder 1500 m Läufen, müssen die Läufer zunächst eine Weile in ihrer eigenen Bahn laufen und dürfen erst später auf die innere Bahn wechseln. Damit nun der außen Laufende nicht eine weitere Wegstrecke zurücklegen muss als sein Kollege innen, bekommt er eine Vorgabe. Und da kommt die Evolvente ins Spiel. Die Kurve, die im Stadion auf die Tartanbahn aufgemalt ist, ist tatsächlich eine Evolvente. Das Ganze ist reichlich kompliziert. So ist z.B. an der Begrenzung der Innenbahn zum Rasen eine erhöhte Steinkante aufgebaut. Die Läufer vermeiden es daher, so eng an der Innenkurve zu laufen, um nicht an dieser Kante abzuknicken. Also wird die Vorgabe so berechnet, dass man nur eine Bahn 30 cm von der Innenkante entfernt erreicht. Der Weg, den der Läufer in einer äußeren Bahn läuft, wird nur mit 20 cm Abstand von der Begrenzungslinie gemessen, weil ja zwischen den Bahnen keine Steinkante verläuft. Na gut, das sind sehr genaue Vorgaben, die wir nicht weiter untersuchen wollen. Jedenfalls wird von der Kurve, die 30 cm von der Innenkante entfernt läuft, die Evolvente gezeichnet. Das ist dann die Startlinie. Wenn Sie also mal in die Gelegenheit kommen, einen 800 m Lauf zu absolvieren, können Sie vielleicht Ihre Gegner etwas irritieren, indem Sie fragen: Laufen wir von der Evolvente aus? Ich sag Ihnen, das schockt.

Im nächsten Artikel werden wir über die archimedische Spirale berichten.

(Textauszug & Bilder/Bildrechte aus meinem Buch „Mathematik und Gott und die Welt“, Springer, 3. Auflage, 2018)