Nichts ist vor der Neugier eines Mathematikers sicher: auch nicht seine Schuhe. Schuhe mit Schnallen, Riemchen oder Slipper interessieren ihn allerdings nicht. Aber mit Schnürsenkeln kann man viel anstellen. Die Skater-Jugend hat es vorgemacht, als sie Schnürsenkel nur noch als Accessoire für ihre Schuhe verwendeten: eine echte Funktion, außer der Optik, hatten die Schnürsenkel nicht mehr. Die Schleifen wurden nach innen gebunden, um den Blick auf die – zum Teil kunstvolle – Schnürung freizulegen.

Es war nur eine Frage der Zeit bis sich jemand dieser Schnürkunst unter wissenschaftlichen Aspekten näherte. Der Australische Mathematiker Burkard Polster hat dies vor mehr als 10 Jahren getan als er im renommierten Magazin „Nature“ 2002 einen kleinen Artikel über die verschiedenen Schnürmöglichkeiten veröffentlichte. Aber auch andere wie z.B. John.H. Halton von der Universität in North Carolina haben über die Mathematik von Schnürsenkeln nachgedacht. Auch der Publizist und Mathematiker Holger Dambeck hat darüber berichtet.

Aber warum ist das für Mathematiker interessant? Ein geschnürter Schnürsenkel kann als Graph aufgefasst werden, bei dem der Senkel die Kanten und die Löcher die Ecken des Graphen bilden. Der geschnürte Schnürsenkel bildet in natürlicher Weise einen Eulerkreis, d.h. man kann die komplette Schnürung ablaufen ohne einen Teil dieser doppelt zu gehen.

Eine weitere Frage ist natürlich, welche Arten von Schnürungen und wie viele es insgesamt gibt, oder welche der Schnürung, die mit der geringsten Länge ist.
Halton hat zum Beispiel gezeigt, dass die Criss-Ccross-Schnürung (übliche Kreuzschnürung bei Bergstiefeln) die ist, bei der man den Schuh am festesten schnüren kann. Sie ist zugleich auch die Kürzeste.

Betrachten wir nun die Anzahl der Schnürvarianten: Es liegt auf der Hand, dass die Anzahl der Schnürungsvarianten mit der Anzahl der Lochpaare zu tun hat. Bei nur einem Lochpaar gibt es nur eine Schnürung.
Bei zwei Lochpaaren sind es schon drei:

Die Schleife für den Schnürsenkel muss man sich bei diesen Bildern immer dazu denken. Gerade bei der mittleren Schnürung ist dann Phantasie gefragt.
Man glaubt es kaum, aber erhöht man die Anzahl der Lochpaare auf drei, so hat Burkart Polster gezeigt, dass es schon 16 verschiedene Schnürungen gibt. Nimmt man die möglichen Drehungen und Spiegelungen dazu, hat man sogar 42.
Wobei es für Polster keine Rolle spielt, ob die die Schnürsenkel von oben oder von unten durch das Loch gezogen werden. Bei 6 Lochpaaren kommt man auf 3,7 Millionen und bei 8 Lochpaaren sind es laut Polster 52,7 Milliarden Schnürmöglichkeiten.

Man kann sich das so erklären: Nehmen wir an, wir haben n Löcher. Wir starten bei einem Loch. Das kann, ohne dass wir die Anzahl der Schnürmöglichkeiten reduzieren, das linke untere sein. Nun hat man noch n-1 Löcher frei, zu denen man den Schnürsenkel ziehen kann. Danach sind es nur noch n-2 usw. – bis man beim letzten Loch ist.

Man hat also insgesamt (n-1)x (n-2)x. . .x 1 = (n-1)! Möglichkeiten.

Das ergibt bei zwei Lochpaaren – also 4 Löchern – 3x2x1=6 Möglichkeiten. Da aber bei den Schnürsenkeln nicht die Reihenfolge oder die Richtung der Verbindung, sondern nur das Muster eine Rolle spielt, reduziert sich das auf die Hälfte – also 3 Möglichkeiten.
Bei drei Lochpaaren hätten man von der Kombinatorik her (6-1)!/2 =5!/2 also 60 Möglichkeiten. Dass es dann nur 42 sind, liegt daran, dass manche Möglichkeiten nach der Theorie von Polster als nicht schnürfähig gelten. Die Formel von Polster ist ein bisschen komplizierter und schließt einige Varianten aus. Aber unser einfaches kombinatorisches Modell zeigt uns, dass wir die Größenordnung gut einschätzen können.

Denken Sie also daran, wenn Sie morgen wieder die Schuhe schnüren: Sie haben ganz viele Möglichkeiten, aber wahrscheinlich nur wenig Zeit, diese auszuprobieren!