Neulich fiel mir die abgebildete Verpackung einer Feinstrumpfhose in die Hände. Der Hersteller bietet diese Sorte Strumpfhose in den Konfektionsgrößen Small (S), Medium (M) und Large (L) an. Verblüffend, dass nur drei Größen ausreichen, um jeder und jedem von uns das passende Beinkleid zu bieten. Das Diagramm auf der Verpackung ist nicht nur Blickfang auf der sonst eher farblosen Verpackung, sondern auch Orientierungshilfe bei der Größenwahl.

Ich zum Beispiel bin 1,65 m groß und wiege etwa 57 kg.  Damit würde ich bei der Konfektionsgröße S landen (Abb. 2).

Das Diagramm animiert mich dazu, gleich noch den eigenen Body-Mass-Index (BMI) zu berechnen.

Und so wird der BMI berechnet:

wobei m die Körpermasse (in Kilogramm) und l die Körpergröße (in Metern) angibt.

Mein BMI (in kg/m2) beträgt demnach:

Welches der gefärbten Felder im Diagramm entspricht wohl einem besonders hohen bzw. einem besonders niedrigen BMI? Wir starten einfach mal in irgendeinem farbigen Feld des Diagramms (Abb. 3 a). Bewegt man sich von dort aus ein Feld nach rechts (nach oben), so wechselt man in eine höhere Gewichtsklasse (niedrigere Körpergrößenklasse). Beide Bewegungen führen zu einem höheren BMI.

Daher kommen lediglich drei Felder für den maximalen BMI in Frage (in Abb.3 b weiß markiert). Mit Hilfe der Formel für den BMI lässt sich leicht berechnen: Der maximale BMI von etwa 35,1 wird bei einem Gewicht von 90 kg und einer Körpergröße von 1,56 m angenommen.

Entsprechend kommen nur zwei Felder für den minimalen BMI in Frage (in Abb.3 b grün markiert). Der minimale BMI von etwa 15,4 wird bei einer Körpergröße von 1,80 m und einem Gewicht von 50 kg angenommen.

Die Frage: „Welches der gefärbten Felder im Diagramm entspricht einem besonders hohen bzw. einem besonders niedrigen BMI?“ ist ein Beispiel für ein mathematisches Optimierungsproblem. Eine Zielfunktion (hier: BMI) wird unter gewissen Nebenbedingungen (hier: nur gefärbte Felder werden betrachtet) maximiert bzw. minimiert.

Wenden wir uns nun den ästhetischen Aspekten des Diagramms zu. Werfen wir einen Blick auf die Farbübergänge. In Abbildung 4 sind die Farbgrenzen jeweils durch eine weiße Linie markiert. Wie erklärt sich die Treppenform dieser Linie?

Umgekehrt gefragt, wieso entstehen keine “Vorsprünge” wie in den Beispielen (a) und (b) in Abbildung 5?

Das lässt sich so erklären: Bewegt man sich in dem Diagramm ein Feld nach rechts (unten), so wechselt man in eine höhere Gewichtsklasse (höhere Körpergrößenklasse). Wie drückt sich dies farblich aus? Entweder das neue Feld hat dieselbe Farbe (gleiche Konfektionsgröße) oder eine dunklere Farbe (nächst größere Konfektionsgröße). Diese Eigenschaft ist in den Beispielen (Abb. 5) verletzt. Abbildung 6 macht die unerlaubten Farbwechsel von orange nach gelb jeweils deutlich.

Ich gebe dem Hersteller recht: aus mathematischer Sicht handelt es sich um eine Strumpfhose von Premium-Qualität!

 

Bildquelle: Alle Fotos & Abbildungen von Dr. Katharina Skutella