Stellen wir uns folgendes Szenario vor: Hauke wohnt an der Ostseeküste, plant aber im Sommer seine Tante Heidi in der Schweiz zu besuchen. Da die Schweiz nach wie vor ihre eigene Währung hat, ist er dabei von Wechselkursschwankungen betroffen. Im letzten Jahr ist der Wert des Euro im Vergleich zum Franken kräftig gefallen, sodass jetzt ein Franke knapp einem Euro entspricht. Aber wie wird sich der Wechselkurs wohl weiter entwickeln, insbesondere zu Haukes Urlaubszeit im Sommer? Das kann heute niemand verlässlich sagen. Haukes Bankberater wagt aber zumindest eine Prognose. Aus seiner Sicht sind zwei Szenarien realistisch. Im ersten wird der Wechselkurs fallen, sodass man im Sommer für einen Euro nur noch 0,80 Franken bekommen wird. Das würde Haukes Sommerurlaub deutlich teurer machen als ursprünglich geplant. Im zweiten Szenario wird der Wechselkurs steigen, so dass ein Euro dann 1,20 Franken wert sein wird. Das wäre für Haukes Urlaubskasse deutlich besser. Welches Szenario aber eintreten wird, das kann der Banker ihm auch nicht sagen. Er hält sogar beide für gleichwahrscheinlich.

Um sich einen besseren Überblick zu verschaffen, berechnet Hauke den mittleren Wechselkurs: Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 liegt dieser bei 0,8, mit Wahrscheinlichkeit 1/2 bei 1,2, im Mittel liegt der Wechselkurs also bei 0,5×0,8+0,5×1,2=1. Hauke erwartet also für einen Euro einen Franken zu erhalten. Er bespricht diese Wechselkursunsicherheit mit Heidi. Diese schlägt daraufhin vor, dass sie ja auch an die Küste kommen könne und rechnet selbst nach, was die Kursschwankungen für sie bedeuten: Gibt es 0,8 Franken für einen Euro, so erhält Heidi umgekehrt für einen Franken 1/0,8=1,25 Euro. Ist 1 Euro 1,20 Franken wert, so erhält Heidi für jeden Franken aber nur 1/1,2≈0,83 Euro. Auch sie berechnet den erwarteten Wechselkurs und erhält 0,5×1,25+0,5×0,83=1,04. Im Mittel wird Heidi für jeden Franken 1,04 Euro erhalten. Hauke erwartet also, dass sich der Wechselkurs im Mittel nicht ändern wird; Heidi hingegen, dass sie mehr Euro für ihren Franken erhält als bisher, obwohl beide von gleichen Annahmen ausgehen. Wie kann das aber sein?

Unter vielen Wirtschaftswissenschaftlern wurde dieses Paradoxon teils heftig diskutiert und einige waren sogar der Meinung, dass sich unter Ausnutzung des Paradoxons Geld verdienen lassen müsste. Allerdings besteht inzwischen Einigkeit darüber, dass dieses nicht möglich ist. In jedem Fall ist aber eine intuitive Erklärung des Paradoxons nicht ganz einfach. Aber immerhin mathematisch ist das Rätsel recht leicht zu klären: Bezeichnet X den (zufälligen) Wechselkurs im Sommer aus der Sicht von Hauke, so ist dessen erwarteter Wechselkurs gerade der Erwartungswert E(X). Der Wechselkurs aus Heidis Sicht ist aber gerade der Kehrwert 1/X und der erwartete Wechselkurs damit E(1/X). Der Erwartungswert hat zwar einige schöne Rechenregeln, er erfüllt aber im Allgemeinen nicht, dass E(1/X) das gleiche ist wie 1/E(X). Vielmehr liefert die sogenannte Jensen-Ungleichung, dass Gleichheit nur dann gilt, wenn X konstant ist, also heute schon sicher feststeht, welcher Wechselkurs im Sommer gelten wird. Sobald Unsicherheit vorliegt, ist der Erwartungswert des Kehrwerts stets größer als der Kehrwert des Erwartungswerts.