Eine gute Bekannte fragte mich eines Tages um Rat, weil sie mit den Hausaufgaben ihrer Tochter in Mathematik Schwierigkeiten hatte. Die Tochter war in der dritten Klasse. Es ging um merkwürdige Zahlen, die die Lehrerin Otto-Zahlen nannte. Was war das? Ich hatte es auch nicht in meiner Schulzeit kennengelernt. Also dachte ich ein wenig darüber nach.

Wenn das in der dritten Klasse ein Thema ist, so muss das ja wohl ein ausgewachsener Mathematiker begreifen können. Otto, das sah eher nach OTTO – also nach einer Symmetrie – aus. Da denken wir ja sofort an andere Wörter wie z. B. Rentner oder Reittier. Das längste Wort ist laut Wikipedia Reliefpfeiler. Aber auch ganze Sätze lassen sich von vorne und von hinten lesen und ergeben denselben Satz. Sehr schön ist doch folgendes Beispiel:

Die Liebe ist Sieger, stets rege ist sie bei Leid.

Alle diese Wörter und Sätze heißen Palindrome. Das Wort kommt aus dem Griechischen und bedeutet zurücklaufend. Gut, aber was hat das mit Mathematik zu tun?

Kurze Nachfrage bei meiner Bekannten ergab tatsächlich, dass sich die kleinen Drittklässler Zahlen wie 1441 oder 5885 anschauen sollten. Na, da muss ja wohl zuerst mal eine Definition her:

Definition: Unter einer OTTO-Zahl verstehen wir eine beliebige vierstellige Zahl, die, von hinten nach vorne gelesen, genauso lautet wie von vorne nach hinten.

Wir werden gleich sehen, dass wir diese Definition weiter einschränken müssen. Wir wollen nämlich jetzt mit diesen Zahlen manipulieren, später dann sogar rechnen.

Zuerst mal die kleine Frage: Wenn wir die OTTO-Zahl 5885 betrachten, wie heißt dann die nächstgrößere OTTO-Zahl? Oho, da muss man schon mal kurz Luft holen. Man möchte einfach die Einerzahl, also die hintere 5 erhöhen auf 6, aber schwupps, muss man auch die vordere Zahl erhöhen, sonst bleibt es keine OTTO-Zahl, und schon wären wir bei 6886. Aber das ist nicht die nächstgrößere. Richtig nachgedacht ist es die 5995. Aha!

Weitere Frage: Welches ist denn die kleinste OTTO-Zahl? Jetzt bekommen wir ein Problem mit unserer Definition. Ist z. B. 0330 eine OTTO-Zahl? Natürliche Zahlen fangen doch nie mit einer 0 vorne an. Andererseits untersuchen wir ja eine ganz eigenwillige Menge von Zahlen, eben die OTTO-Zahlen. Also Vorschlag: Wir einigen uns. Da haben wir also zwei Möglichkeiten: 0 vorne erlaubt oder 0 vorne nicht erlaubt.

Wenn wir weiter gehen, finden wir gleich ein neues Problem: Ist denn 3333 eine OTTO-Zahl? Auch da müssen wir uns einigen, beides ist möglich: ja, 3333 ist eine OTTO-Zahl oder nein, 3333 wollen wir nicht zulassen. Ich schlage jetzt erst mal folgende Einschränkung vor:

Definition: Unter einer neuen OTTO-Zahl verstehen wir eine beliebige vierstellige Zahl, die, von hinten nach vorne gelesen, genauso lautet wie von vorne nach hinten, dabei aber nicht mit 0 vorne beginnt und bei der die erste und die zweite Ziffer verschieden sind.

In dieser Menge neuer OTTO-Zahlen wollen wir uns jetzt bewegen. Also unsere Frage: Welches ist die kleinste neue OTTO-Zahl?

Sie sind ja schon gewieft, also das ist die 1001. Ja, und wie heißt die größte neue OTTO-Zahl? Klar, das ist die 9889.

Da liegt die Frage nahe: Wie viel neue OTTO-Zahlen gibt es überhaupt? Das betrachten wir ganz locker und dann ist es nur noch eine Abzählerei. Die Reihe geht so los

1001, 1221,1331, …,1991

Wir haben gemäß unserer Definition die 1111 weggelassen. Dann sind das insgesamt bis 1200 neun neue OTTO-Zahlen. Genauso können wir jetzt in jedem Hunderterpaket nachzählen, z. B. 4004, 4114, 4224, …, 4994, wobei wir die 4444 weglassen. Das sind also wieder neun Zahlen. Da wir insgesamt neun Hunderterblöcke haben, gibt es

9 mal 9 = 81 neue OTTO-Zahlen.

Wir spielen weiter. Kann man mit diesen neuen OTTO-Zahlen rechnen, ist also die Summe zweier neuer OTTO-Zahlen wieder eine neue OTTO-Zahl? Das kommt darauf an. 3113 + 4224 = 7337. Wir dürfen bei der Addition keinen Zehnerübertrag zulassen. Dann klappt es. Aber Achtung: 2442 + 4224 = 6666, und das ist nach unserer Definition keine neue OTTO-Zahl. Wir können also einen Satz formulieren, der lautet:

Satz: Die Summe zweier neuer OTTO-Zahlen abba und cddc ist wieder eine neue OTTO-Zahl, falls a+c < 10 und falls b+d < 10 ist und falls a+c nicht gleich b+d ist.

Jetzt können wir uns an die Subtraktion und die Multiplikation machen und weitere Sätze aufstellen. Wir können aber auch die zweite Möglichkeit, die wir oben angedeutet haben, genauer betrachten, nämlich zulassen, dass OTTO-Zahlen mit 0 beginnen dürfen und/oder dass alle vier Zahlen sogar gleich sein dürfen. Alle obigen Fragen lassen sich wieder anwenden.

Wir wollen das hier aber nicht weiter betreiben, sondern die Gelegenheit benutzen, auf den tieferen Sinn dieser Geschichte hinzuweisen. Sie sehen ganz deutlich das typische Vorgehen in der abstrakten Mathematik. Man beginnt mit einer Menge von Objekten, die man untersuchen möchte. Da liegt zuerst die wichtige Bedingung: Wir müssen diese Objekte exakt beschreiben. Manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten, dann benutzen wir eine neue Definition zur Einschränkung der zu untersuchenden Menge. Dann fragen wir nach typischen algebraischen Operationen. Im Studium der Mathematik werden Sie auf diese Weise die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen kennenlernen. Dann geht es in der Mengenlehre mit den Operationen Vereinigung und Durchschnitt weiter und schließlich landet man bei der Theorie der Kategorien und Funktoren.

Unsere kleine Aufgabe für Drittklässler mit den OTTO-Zahlen weist uns also in die Richtung, wie in der Mathematik gearbeitet wird. Und daher ist diese kleine Aufgabe sehr wertvoll.