Ob es den Stern über Bethlehem, der den Hirten den Weg gewiesen haben soll, wirklich gegeben hat, weiß man nicht genau. Trotzdem oder gerade deswegen ist der Stern beziehungsweise sind Sterne eines der christlichen Symbole für die Weihnachtszeit. Vom Kindergarten bis hinauf zur Oberstufe – alle beginnen in der Adventszeit, Sterne zu basteln. Ob aus Papier oder aus Stroh, ob flachgepresst oder in drei Dimensionen – eines zeichnet den Stern aus: Seine Strahlen laufen aus dem Zentrum und unterliegen einer bestimmten Symmetrie. Im dreidimensionalen Fall gibt es für solch einen symmetrischen Weihnachtsstern – man glaubt es kaum – nur drei verschiedene Symmetriearten.

Ein besonderer Vertreter unter den dreidimensionalen Weihnachtssternen ist der Hernnhuterstern. Dieser Stern wurde von Mitgliedern der Brüdergemeine aus Herrnhut in der Oberlausitz entwickelt und hergestellt und das erste Mal 1821 in der Unitäts-Knabenanstalt in Niesky (Sachsen) zum Dreikönigsfest aufgehängt. Es wurde damals ein Stern mit 110 Strahlen verwendet. Die mathematische Grundlage dieses Sterns war wohl ein Rhombenikosidodekaeder. Dies ist ein archimedischer Körper, der aus 30 Quadraten, 20 gleichseitigen Dreiecken und zunächst zwölf regelmäßigen Fünfecken besteht. Die Fünfecke werden dann noch einmal in jeweils fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt. Damit erhält man einen Körper mit 110 Flächen. Bei einem solchen Stern verlaufen die Strahlen fast kugelförmig nach außen. Heutzutage handelsüblich ist dagegen ein Stern mit “nur” 26 Strahen. Die Zahl 26 lässt sich von der Anzahl der Flächen des Rhombenkuboktaeders ableiten, der das Herz des Herrnhutersterns darstellt.

Dieser Rhombenkuboktaeder ist aus einem klassischen Würfel entstanden, dem man die Kanten und Ecken abgeschnitten hat. An den Kanten entstehen Quadrate der gleiche Größe wie die Restquadrate auf den ehemaligen Würfelflächen. Die Ecken werden so zugeschnitten, dass man gleichseitige Dreiecke erhält. Schließlich erhält man also von den acht Würfelecken acht Dreiecke. Die sechs Würfelflächen geben sechs Quadrate und zwölf Kanten steuern zwölf Quadrate bei. So haben wir gezeigt, dass dieser archimedische Körper durch 8+6+12 = 26 Flächen begrenzt ist.

Nun setzen wir auf die Dreiecke Dreieckspyramiden und auf die Quadrate quadratische Pyramiden. Die Pyramiden sind ziemlich spitz. Und man glaubt es kaum: Es gibt keine mathematische Begründung für das Verhältnis von Kantenlänge zu Pyramidenhöhe, sondern nur eine ästhetische. Zu schön.

Schöne Weihnachten und viel Spaß beim Basteln wünscht Ihnen Matthias Ludwig.