In der Musik geht es ja oft um Töne. Soweit sollte das jedem bekannt sein. Nun haben unterschiedliche Töne aber unterschiedliche Tonhöhen. Auf dem Klavier ist das ganz einfach. Je weiter rechts du eine Taste drückst, umso höher wird der Ton. Wenn du von einer weißen Taste, auf die nächstgelegene recht schwarze Taste wechselst, so spielst du einen Halbton höher. Wenn du von einer weißen Taste auf die nächstgelegene weiße Taste wechselst und zwischen diesen weißen Tasten ist keine schwarze Taste, so spielst du auch einen Halbton höher. Wenn du von einer weißen Taste auf die nächstgelegene weiße Taste wechselst und eine schwarze Taste ist dazwischen, so spielst du einen Ganzton höher. Schau:

Nun möchte man aber nicht nur die Abstände zwischen benachbarten Tönen angucken, sondern zwischen allen Tönen. Man sagt zum Beispiel zu einem Abstand von 7 Halbtonschritten Quinte und zu einem Abstand von 12 Halbtonschritten Oktave. Quinten und Oktaven und alle anderen so definierten Abstände werden Intervalle genannt.

Nun gab es einige Jahre vor Christus einen Pythagoreer namens Philolaos. Philolaos schaute sich die Lyra, ein antikes Zupfinstrument an und ordnete Verhältnissen zwischen Saitenlängen Quotienten zu.

Er definierte einen Ganzton als die Differenz zwischen Quarte und Quinte.

Ein Ganzton ist also: Quinte-Quarte und das ist

Er definierte den (kleinen) Halbton als Differenz zwischen einer Quarte und zwei Ganztönen. Also

Da nun aber zwei pythagorische Halbtöne noch keinen Ganzton entsprechen, definiert Philolaos den Unterschied als pythagoreisches Komma. Das Pythagoreische Komma ist also: Ganzton minus zwei Halbtöne. Und das ist

Er definierte zwar den Unterschied, aber berechnete die zugehörigen Verhältnisse nicht. Die erste Nennung der Komma-Proportion findet sich bei Euklid. Den gleichen Wert bekommt man heraus, wenn man 12 Quinten – 7 Oktaven rechnet.

Ein Klavier hat pro Oktave 12 Töne (also 7 weiße und 5 schwarze Tasten). Instrumente mit nur 12 Tönen pro Oktave, lassen sich nicht so stimmen, dass sie in allen Tonarten mit absolut reinen Intervallen gespielt werden können. Weil ja 12 Quinten minus 7 Oktaven die Differenz des pythagoreischen Kommas übrig lassen. Man versucht beim Stimmen von solchen Instrumenten, diese Differenz sinnvoll auf die zwölf Quinten zu verteilen. Man nennt die Art dieser Verteilung die Temperierung. Eine solche Temperatur wird erforderlich, wenn es darum geht, auf Tasteninstrumenten oder bundierten Saiteninstrumenten möglichst viele Tonarten spielbar zu machen. Hier spielt Mathe also eine große Rolle.

Und nicht nur da, sondern überall in der Musik findet man mathematische Strukturen. Das Rechnen mit Intervallen ist natürlich sehr grundlegend. Aber hier solltest du auch nur einen kleinen Einblick in eines der vielen Anwendungsgebiete der Mathematik in der Musik bekommen.

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