„Mathe klingt gut“ war schon 2009 eine Veranstaltung des Berliner Forschungszentrums Matheon überschrieben, bei der die Nähe zwischen Mathematik und Musik im Mittelpunkt stand. In der Tat: Mathe und Musik haben viele Gemeinsamkeiten. Das ist keine neue Erkenntnis. Schon mehr als 500 Jahre vor unserer Zeitrechnung stellte der griechische Philosoph und Mathematiker Pythagoras von Samos diesen Zusammenhang fest. Es ist die erste bekannte Überlieferung dieser Verwandtschaft der beiden Fächer. „Alles ist Zahl“ ist ein berühmter Satz von ihm, der sich auch und vor allem auf die Musik bezog. Viele hundert Jahre später wiederholte der „Spiegel“ 2003 in einem Artikel über die Musik-Formel diese Erkenntnis. „In ihrem Kern ist Musik reine Mathematik“ schreibt der Autor Philip Bethge und ergänzt, dass durch die Musik eine Art Wunder geschehe, weil sie Mathematik in ein Gefühl verwandle.

Mathematik und Musik sind also kein Widerspruch, sondern ergänzen sich in vielen Punkten. Mathematische Begriffe wie „Fibonacci-Reihen“ oder der „Goldene Schnitt“ spielen beispielsweise bei Kompositionen eine tragende Rolle. Die Tonintervalle wie Quinte oder Oktave werden vom Menschen als sehr harmonisch empfunden. Die Oktave ist das Grundintervall jedweder Musik. „Die jeweiligen Tonfrequenzen stehen dabei in einem festen Zahlenverhältnis zueinander. Bei der Festlegung der Tonleiter strebte man an, zu jedem Ton auch die Quinte in ihr zu haben. Die Näherungslösung für dieses mathematische Problem wird durch Anwendung von Logarithmen, Kettenbruchentwicklung und Exponentialfunktion gewonnen“, schreiben die Magdeburger Autoren Christian Hartfeldt, Dr. Wolfram Eid und Prof. Herbert Henning in ihrem 2002 erschienenen Aufsatz „Mathematik in der Welt der Töne“

Ob bewusst oder unbewusst komponieren also MusikerInnen auf der ganzen Welt auf der Grundlage der Mathematik. Seien es traditionelle Weisen und Volkslieder oder Kompositionen von Johann Sebastian Bach, Wolfgang Amadeus Mozart oder Ludwig van Beethoven – alle haben sie sich mathematischer Methoden bedient. Noch deutlicher wird dies bei der computergestützten Musik: Musik und Mathematik sind hier unzertrennlich. Oder wie es der Berliner Mathematiker, Organist und Musiktheoretiker Albrecht Gündel-vom-Hofe in einem Beitrag der Zeitung „Tagesspiegel“ ausdrückte: „Für mich beruht die Ästhetik der Musik auf der Logik der Mathematik“. Gündel-vom-Hofe ist ein typisches Beispiel für die erstaunlich häufige Affinität von MathematikerIinnen zur Musik. Auffallend viele Mathematikerinnen und Mathematiker sind auch musisch begabt, viele sind HobbymusikerInnen. Nicht selten haben sie sogar auch ein musikalisches Studium absolviert.

Doch kehren wir zurück zu Pythagoras. Er hat als wahrscheinlich Erster erkannt, dass wohltönende Klänge etwas mit natürlichen Schwingungen zu tun haben. Für ihn und seine Schüler war die irdische Musik eine Nachbildung der himmlischen, deren Harmonie seiner Auffassung nach auf Zahlen beruhte. Mit einem von ihm erfundenen und gebauten Monochord untersuchte er natürliche Töne und stellte fest, dass sich die grundlegenden Musikintervalle durch einfache Zahlenverhältnisse beschreiben lassen. Das Monochord oder Kanon ist ein länglicher Resonanzkasten, der in der Länge mit nur einer einzigen Saite bespannt ist.

Der Legende nach soll Pythagoras zufällig in einer Schmiede entdeckt haben, dass unterschiedliche Hämmer, deren Gewichte in bestimmten ganzzahligen Verhältnissen stehen, im Zusammenspiel einen harmonischen Klang erzeugen. Heute weiß man allerdings, dass diese Geschichte tatsächlich eine Legende ist, zumal zwar die musiktheoretischen Erkenntnisse richtig sind, die physikalischen jedoch keineswegs. Richtig allerdings ist, dass der schlaue Grieche mit einem Steg die Monochord-Saite im Verhältnis 1:2 teilte und beobachtete, dass beide Saitenabschnitte im Abstand von genau einer Oktave erklangen. Pythagoras teilte die einzelnen Abschnitte nach mathematischen Regeln weiter und konnte so eine harmonische Tonfolge herstellen. Erstmals ist mit diesen Experimenten eine musikalische Tonleiter nachgewiesen, die bis heute in weitgehend unveränderter Form in weiten Teilen der Welt Gültigkeit hat.

Einem anderen Griechen, Euklid von Alexandria, ist das älteste Dokument mit einer Tonsystemdarstellung am Monochord zuzuschreiben. Und der im heutigen Algerien geborene Kirchenlehrer Aurelius Augustinus betrachtete in seinem Werk „De musica“ die Zahlengesetzlichkeit in der Musik. Sein Augenmerk richtete sich dabei auf den rhythmischen und melodischen Ablauf.

Immer wieder befassten sich danach Mathematiker und Musiktheoretiker mit der Erzeugung harmonischer Töne durch die Teilung von Saiten. Erst im Mittelalter wurde das Monochord zum Tastenmonochord weiterentwickelt. Bei diesem Instrument konnte die Saite durch den Druck auf verschiedene Tasten unterschiedlich verkürzt werden. Conrad von Zabern konstruierte diesen Vorläufer des Klaviers etwa um 1400. Die erste Abbildung eines Clavichords ist 1440 belegt.

Große Bedeutung kommt bei der Betrachtung von Mathematik und Musik Johannes Kepler zu. Er erkannte harmonische Proportionen in den Bahnen der Planeten wieder und stellte damit eine mathematisch-kosmische Begründung der Musiktheorie auf. In seiner „Weltharmonie“ ordnete er jedem Planeten eine relative Umlaufgeschwindigkeit zu und setzte darüber die zugehörigen Töne.

Immer wieder zu hören ist die Vermutung, Johann Sebastian Bach habe mittels Zahlen und Noten Hinweise in seine Werke „hineinkomponiert“. Ob dies mit Absicht geschah ist sehr umstritten. Dr. Matthias Wendt von der Robert-Schumann-Forschungsstelle in Düsseldorf beispielsweise konnte in einem Vortrag bei der oben erwähnten Veranstaltung „Mathe klingt gut“ mit Musikbeispielen belegen, dass man dies bei vielen anderen Komponisten ebenfalls feststellen könnte. Ob bewusst oder eher zufällig sei dahingestellt.

Viele der bisher beschriebenen Aussagen beziehen sich auf die meisten auf der Welt vorkommenden Musiken. Aber es gibt neben der Tonleiter von Pythagoras auch andere. Das uns bekannte System kommt mit 12 Halbtönen aus, während beispielsweise die indische Musiktheorie die Oktave in 22 gleiche Intervalle einteilt, die indonesische Musik „braucht“ dagegen nur zwischen fünf und sieben Stufen in der Oktave.

Ganz bewusst bedienen sich die SchöpferInnen sog. Neuer Musik der Mathematik. Auf die Bedeutung der Mathematik in der „Neuen Musik“ verweisen beispielsweise die schon erwähnten Magdeburger Autoren: „Anfang des 20. Jahrhundert gewann die Mathematik zunehmend Bedeutung. Wolfgang Graeser versuchte eine mathematische Musiktheorie zu entwerfen und Iannis Xenakis, solche mathematischen Theorien für die Komposition nutzbar zu machen.

Der Charakter der Zahlen wurde als vollkommen abstrakt und neutral gegenüber den Gegenständen bewertet und so benutzte man sie, um Transformationen zu erzielen, z. B. übersetzte der österreichische Schriftsteller und Komponist Gerhard Rühm 1983 die Biografie Frederic Chopins in ein Klavierstück. Emmet Williams erstellte Kompositionen mit geometrischen Progressionen und mathematischen Permutationen von Buchstaben, Silben, Sätzen und Zeichen.“

Wir halten also fest: Musik besteht aus berechenbaren Luftschwingungen, deren Frequenzen sich nach physikalischen Regeln überlagern. Schwingungen, die auch seit Urzeiten die Menschen in Schwingung versetzen. Gemeinhin werden diese in Bewegung umgesetzten menschlichen Schwingungen als Tanzen bezeichnet. Dabei erfüllt der Tanz viele Funktionen: Er kann als Ritual gelten und das Zusammengehörigkeitsgefühl der einzelnen Gruppenmitglieder stärken, er kann religiösen Ursprung haben, indem die Tanzenden die Götter meist gnädig stimmen und böse Geister vertreiben wollen. Tanz kann aber auch Leistungssport oder Ballett sein. Natürlich aber ist Tanzen insbesondere eine gesellschaftliche Kommunikationsform, bei der man sich vergnügt, kennenlernt und die die Menschen fröhlich stimmt.

Auch der Tanz selbst ist letztlich mathematisch. Die Schrittfolgen der Tanzformen folgen bestimmten Gesetzen und allen Tanzenden, ritualen, religiösen, sportlichen oder Spaß und Freude-Suchenden ist gemein, dass sie sich von einem bestimmten Rhythmus in Bewegung bringen lassen. Welcher Rhythmus aber regt die Menschen am ehesten zum Tanzen an? Wissenschaftler der brasilianischen Universität von Alagoas haben dies mit mathematischen Methoden untersucht. Das Ergebnis ist wenig überraschend: Brasilianische Forró-Musik und Techno fordern am meisten zum Tanz auf, Rock’n’-Roll und Jazz liegen etwa gleichauf im Mittelfeld, die komplexeste Rhythmik weisen klassische europäische Musik und die Musik der Hindu auf. Sie sind daher am wenigsten tanzbar. Beim Jazz allerdings missachten MusikerInnen gerne den Grundrhythmus und verkürzen, verzögern oder akzentuieren Noten. Nach Meinung des schwedischen Physikers Anders Friberg entfaltet dadurch der Jazz erst seine emotionale Wirkung.

Man könnte noch unzählige Beispiele des Zusammenwirkens von Musik und Mathematik anführen. Tatsache ist, dass Mathematik eine der wichtigsten Grundlagen für die Entstehung von Musik bildet. Man kann aber die Musik auch nutzen, um Mathematik zu erklären. So wird sie beispielsweise benutzt um SchülerInnen Bruchrechnen näherzubringen. Die Länge ganzer Noten wird in Musikstücken meist in Halbe, Viertel, Achtel und Sechzehntel unterteilt. Der Rhythmus eines Musikstückes wird in Takten angegeben, also 4/4, 3/4 usw. Christian Hartfeldt, Dr. Wolfram Eid und Prof. Herbert Henning bieten in ihrem Aufsatz „Mathematik in der Welt der Töne“ eine Reihe von Beispielen und Aufgaben, wie man diese musikalische Unterteilung in Brüche sinnvoll im Mathematikunterricht einsetzen und dabei das musische Empfinden der SchülerInnen nutzen kann.

„Mathe klingt gut“ ist also keine kühne PR-Behauptung, sondern tägliche Erfahrung. Ob im Radio, auf CD, im Konzertsaal oder auf Festen hören wir laufend „schöne“ Musik, ohne dass uns dabei die mathematische Grundlage des Gehörten bewusst wird. Selbst in den heutigen Bildungseinrichtungen wie Schule oder Universität spielt diese Nähe selten eine Rolle. Mathe und Musik sind zwei getrennte Fächer und gefühlt meilenweit voneinander entfernt. Anders in der Antike! Neben Grammatik, Rhetorik, Dialektik und Astronomie gehörten auch Arithmetik, Geometrie und Musik zu den „Septem artes liberales“, den sieben freien Studienfächern. Der Mathematik kam damals die Aufgabe zu, die Verbindung zwischen Technik und Kunst/Kultur zu herzustellen. Daran hat sich nichts geändert. Eine musikalische Mathematik oder eine mathematische Musik sollten daher mehr ins Bewusstsein gerückt werden!