Die Brüder Klaus und Arne sind von ihrer Mutter verpflichtet worden, jede Woche den Schneeräumdienst vor dem Elternhaus zu übernehmen. Klaus schlägt Arne vor, jedes Mal gegeneinander zu würfeln, wer diese Aufgabe übernehmen muss. Er hat auch gleich die passenden sogenannten Efronschen Würfel dabei (vgl. die Abbildung weiter unten). Es sind vier Stück, die jeweils die Zahlen 0 bis 6 enthalten, wobei die Zahlen nicht auf allen Würfeln gleich häufig vorkommen. Klaus schlägt Arne vor, dass dieser immer einen Würfel auswählen darf und dann erst Klaus einen Würfel wählt. Arne denkt sich, dass er schnell herausfinden wird, welcher Würfel am besten ist und dann in den folgenden Wochen immer gewinnen wird. So stimmt er wohlgemut zu.

Arne wählt also in der ersten Woche den grünen Würfel, Klaus nimmt den orangenen Würfel, beide würfeln etliche Male und Klaus gewinnt häufiger. Arne fügt sich seinem Schicksal, hofft auf wenig winterliches Wetter und wählt in der folgenden Woche den orangenen Würfel. Nun wählt Klaus den blauen Würfel und gewinnt wiederum. Arne versucht vorerst,dem Schneeräumdienst Gutes abzugewinnen und wählt in der folgenden Woche den blauen Würfel, Klaus nimmt den roten. Erneut gewinnt Klaus. Arne, vom Winter langsam genervt, wählt in der nächsten Woche den roten Würfel und ist sich seiner Sache sicher, denn dieser muss doch der beste Würfel sein. Aber, verflixt, Klaus, der nun den grünen Würfel ausgewählt hat, gewinnt erneut häufiger als Arne. Kann dieses mit rechten Dingen zugehen? Es muss doch ein Würfel der Beste sein!

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass Klaus ein Spiel gewinnt, 24 zu 12, und zwar in jeder der Konstellationen. Klaus gewinnt also im Mittel doppelt so häufig wie Arne.  Entscheidend ist dabei, dass Klaus nach Arne einen Würfel auswählen darf und es immer einen besseren Würfel gibt als den Würfel, den Arne ausgewählt hat. Dieses Phänomen wird in der Mathematik als intransitiv bezeichnet. Es bedeutet, dass aus „orange schlägt grün“, „blau schlägt orange“ und „rot schlägt blau“ nicht folgt, dass rot der alle anderen dominierende Würfel ist. Wenn Arne als erstes einen Würfel auswählen muss, kann Klaus immer einen Würfel auswählen, mit dem er bei genügend Würfen mit höherer Wahrscheinlichkeit gewinnt.

Arne, nicht dumm, durchschaut nun den Trick und schlägt Klaus für die kommenden Wochen einen Münzenwurf als Entscheidungsgrundlage für den Winterdienst vor dem elterlichen Haus vor. Wer als Leser allerdings ebenfalls vor einer vergleichbaren Aufgabe wie Klaus und Arne steht, sollte das Geheimnis der Efronschen Würfel besser für sich behalten und bewahrt sich somit sichere Gewinnchancen bei entsprechenden Würfelduellen….

Es gibt die Efronschen Würfel mit unterschiedlicher Würfelanzahl, minimal können drei Würfel genutzt werden, in der Regel werden vier oder fünf Würfel verwendet. Betrachten wir wie oben beschrieben das Beispiel mit vier Würfeln, die durch unterschiedliche Farben unterschieden werden können. Wieso funktionieren diese Würfel so paradox? Das können wir einfach nachrechnen, wenn wir die unterschiedlichen Kombinationen nacheinander betrachten:

Stellen wir uns vor, der erste Spieler wählt den grünen Würfel aus. Dann sollte der zweite Spieler den orangenen Würfel wählen, denn in diesem Fall wird er bei einer ausreichenden Anzahl an Spielen im Mittel in 24 der 36 gleichwahrscheinlichen Fälle gewinnen. Der erste Spieler mit dem grünen Würfel wird im Mittel nur in 12 Fällen gewinnen. Der orangene Würfel ist dem grünen Würfel also eindeutig überlegen.

Intuitiv würde man nun dem ersten Spieler raten, als nächstes den orangen Würfel zu wählen. In diesem Fall sollte der zweite Spieler den blauen Würfel wählen. Erneut ist der Würfel des zweiten Spielers, also der blaue Würfel, in 24 Fällen überlegen und der erste Spieler gewinnt nur in 12 Fällen.

Es scheint also wie verflixt für den ersten Spieler. Er wählt nun den blauen Würfel aus. Der zweite Spieler kontert, indem er den roten Würfel nimmt. Für den ersten Spieler mit dem blauen Würfel läuft es erneut nicht gut, denn er gewinnt wieder nur in 12 Fällen. Der zweite Spieler mit dem roten Würfel gewinnt hingegen in 24 Fällen.

Entmutigt wählt der erste Spieler nun den roten Würfel. Der zweite Spieler wählt den grünen Würfel, mit dem der erste Spieler im ersten Spiel verloren hat. Tatsächlich gewinnt erneut der zweite Spieler in 24 Fällen und der erste Spieler nur in 12 Fällen.

Das Spiel mit den Efronschen Würfeln führt also dazu, dass der zweite Spieler immer gewinnen kann, indem er bei jedem der gewählten Würfel durch den ersten Spieler einen dominanten Würfel auswählen kann. Der erste Spieler kann gegen den zweiten Spieler bei genügend Würfen also niemals gewinnen, sofern der zweite Spieler geschickt seinen Würfel auswählt.

Das Beispiel widerspricht also der Intuition, wonach ein Vorteil immer transitiv sein muss. Transitivität bedeutet hierbei, dass aus „A dominiert B“ und „B dominiert C“ zwangsweise auch „A dominiert C“ folgt. Dies wäre allerdings nur dann zutreffend, wenn das Ergebnis des Spiels mit den Efronschen Würfeln etwa die Summe der in einer großen Zahl von Spielrunden gewürfelten Zahlen und nicht die Anzahl der gewonnenen Runden wäre. Bei den gegebenen Spielregeln stellen die Efronschen Würfel also ein intransitives Beispiel dar.