Am 11. November findet jedes Jahr meist in den Kindergärten der Laternenumzug zu Ehren des heiligen Sankt Martin statt, der der Legende nach durch das selbstlose Teilen seines Mantels (durch sein Schwert) einen Bettler vor dem Erfrierungstod rettete. An diesem Tag sollen die Kinder etwas über das Teilen, hier meint es aber das „Abgeben von etwas“ lernen. Gerechtes Teilen meint aber natürlich etwas Anderes. Es meint, dass wir ein Gut oder eine Menge von Gütern unter mindestens zwei Personen gerecht aufteilen sollen. Nun sollten wir zunächst den Begriff des gerechten Teilens präzisieren. Gerechtes Aufteilen von Gütern kann bedeuten, dass nach dem Aufteilen der Güter oder des Gutes keiner der Beteiligten mit einem anderen seinen Anteil tauschen möchte, um sich besser zu stellen. Keiner neidet dem anderen dessen Anteil. Man spricht hierbei auch von neidfrei-gerechtem Aufteilen. Die Frage ist aber natürlich, wie man dieses neidfrei-gerechte Aufteilen herstellen kann.

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Ein Schokoriegel soll unter zwei Personen A und B aufgeteilt werden. Von der Theorie her ist es so, dass wohl jeder mindestens die Hälfte haben möchte. Die Frage ist nur, wie man diese Hälfte erzeugt. Eine geeignete Methode ist die, dass Person A den Riegel mit einem Messer teilt und Person B dann aussuchen darf, welche Hälfte er oder sie nimmt. Somit hat es der erste in der Hand, das Gut in genau zwei gleichgroße Hälften zu teilen. Er wird sich sehr darum bemühen, denn der Andere darf ja aussuchen.

Soll der Riegel unter mehr als zwei Personen aufgeteilt werden, so kann die „moving-knife-Strategie“ angewendet werden. Eine Person fährt langsam mit gleichbleibender Geschwindigkeit mit dem Messer von links nach rechts über den Schokoriegel. Während dieses Vorgangs darf jeder der Beteiligten, auch derjenige der das Messer führt, „Schnitt“ rufen. Der „Schnittrufer“ erhält dann das gerade vom Messer überstrichene Stück. Das Messer bewegt sich anschließend für die restlichen Beteiligten weiter, bis nur noch ein riegelstückloser Spieler übrig bleibt, der dann den rechts liegenden Riegelrest zugeteilt bekommt. Das Ziel ist auch hier, dass jeder der n Beteiligten genau den n-ten Teil des Riegels erhält.

Nun kann man sich das Teilen von solchen homogenen Riegeln noch gut vorstellen, aber wie ist das denn, wenn man eine Pizza mit gleichmäßig verteilter Tomatensauce, aber völlig wirr verteiltem Käse so unter zwei Personen aufteilen möchte, dass jeder von jedem Belag gleich viel erhält? Auch hier lässt sich eine neidfrei-gerechte Lösung finden.

Man kann sich gut vorstellen, dass es für die Pizza – nur belegt mit der Tomatensauce – unendlich viele Schnittmöglichkeiten gibt, diese in zwei gleichgroße Hälften zu teilen. (Wir denken uns die Schnittgeraden als Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt). Betrachten wir nun den Käse: Hier kann man sich vorstellen, dass man durch Drehung und Verschiebung neue Schnitte erzeugen kann, die den Käse immer in zwei gleich große Hälften unterteilt. Das kann man so lange machen, bis man die Schnittgerade um 360° wieder in der Ausgangslage hat. Da diese Schnittveränderungen seitig, also ohne Sprung ablaufen, gibt es einen Fall, bei dem diese (Käse-)Schnittgerade auch einmal durch den Mittelpunkt der Pizza verlaufen muss. Dass dies immer funktioniert, sogar wenn die Pizza gar nicht kreisrund, sondern ein beliebiges Polygon ist, haben die Mathematiker Stanislaw Ulam und Karol Borsuk 1933 vermutet und bewiesen. Und dieses gerechte Teilen klappt sogar im Dreidimensionalen, wenn man z. B. ein Sandwich mit Schinken und Käse mit einem Schnitt so teilen möchte, dass jeder gleich viel Sandwich, Käse und Schinken hat, auch dann, wenn alles ganz unordentlich auf dem Sandwich verteilt ist.

Allerdings haben die Beiden nicht gesagt, wie man diesen besonderen Schnitt findet, sondern nur, dass es immer einen gibt. Typisch Mathematiker eben ;-).