Das Verbotene hat ja seinen Reiz. Vielleicht kann man es ja mal heimlich tun, wenn der Mathelehrer gerade nicht hinschaut. Also, probieren wir mal die schriftliche Division:

24:0=

Wie ging das? Man fragt sich, wie oft die 0 in 2 passt? Tja, unendlich oft… Also ist ∞ die erste Ziffer des Ergebnisses, also 24:0=∞… . Unendlich als Ziffer? Na ja. Es kommt noch schlimmer: Jetzt muss man von 24 das Produkt ∞·0 abziehen. Spätestens jetzt sollte man aufgeben.

Es klappt also nicht recht mit dem Divisionsalgorithmus. Aber woran liegt das? Bei solchen Fragen hilft es, von den Operationen solide Grundvorstellungen zu haben. Eine davon ist Division als Aufteilen. Ich möchte eine große Zahl von Dingen in kleinere Pakte aufteilen, die jeweils die gleiche Zahl enthalten. Wie viele Pakete bekomme ich? Ein Hühnerproduzent hat 300 Eier, die er auf Sechserschachteln aufteilen will. Wie viele Schachten werden voll? Das ist eine Sinngebung der Division von 300:6. Oder mit der gleichen Grundvorstellung: Ich möchte 24 Flaschen aus dem Keller holen. Wie oft muss ich gehen, wenn ich jedes Mal 6 Flaschen trage? 24:6=4. Und wenn ich jedes Mal nur 2 Flaschen trage? 24:2=12. Ziemlich faul: Nur eine pro Gang? 24:1=24. Ich muss 24 Mal gehen. Und jetzt ganz faul: Wie oft muss ich gehen, wenn ich jedes Mal keine Flasche trage? Das wird wohl nix. Das geht nicht. Das wäre 24:0.

Etwas lehrerhaft kann man das auch so erklären: Wäre 24:0=x, dann folgt 24=0x, also 24=0. Das geht also nicht.

Egal welche Erklärung man bevorzugt: Durch 0 darf man nicht nur nicht dividieren, man kann es auch gar nicht. Das ist das Schöne an den Gesetzten der Mathematik – man kann sie gar nicht übertreten.  Deswegen gibt es auch keine Gefängnisse für Mathematiker, jedenfalls kenne ich keine.

Aber so ganz aufgeben wollen wir mal nicht. Wenn man von Flaschen auf Äpfel umstellt, kann man das Spiel noch weiter treiben: 24 Äpfel holen, wenn man jedes Mal  ½ Apfel trägt? 24:½=48. So kann man sich dem nichts tragen immerhin annähern. Schreiben wir mal  für die Null, der wir uns annähern wollen.  Dann ist  eine Annäherung  an das Unendliche. Oder .  Oder  wobei man sich für  immer größere Zahlen denkt. Kann man damit rechnen?

Gibt es eine Stelle, für die der Funktionswert von

Hier kann man bedenkenlos für N 0 einsetzen und bekommt die gewünschten Stellen.

Eine Frage ist ja, ob denn tatsächlich Unendlich plus 1 wieder nur Unendlich ergibt. Das rechnen wir jetzt nach:

Als weiteres Anwendungsfeld nehmen wie die Differentialrechnung her. Eines ihrer Ziele ist die punktuelle Steigung eines Funktionsgraphen zu bestimmen. Betrachten wir die Steigung an den Stellen x, x + N der quadratischen Funktion

Das ist die bekannte Ableitung.

Letztlich betreibt man so Analysis. Durch Null kann man immer noch nicht dividieren, aber durch beliebig kleine Zahlen dividieren, das kann gehen.