Was mich an der Mathematik fasziniert ist, dass sie allumfassend einsetzbar ist. Über jedes Thema kann man auch aus der Perspektive der Mathematik nachdenken. Es gibt eine Mathematik des Zufalls, die im Zufallsgeschehen mathematische Tatsachen aufgedeckt hat. Denn auch der Zufall ist nicht regellos, auch er befolgt Gesetze.

Es gibt eine mathematische Knotentheorie, die bewiesen hat, dass alle möglichen Knoten sich aus nur drei Arten von Fundamentalknoten zusammensetzen. Es gibt eine mathematische Warteschlangentheorie, die Beziehungen erkannt hat zwischen dem wirren Hin und Her der Länge von Warteschlangen und der wirren Bewegung von winzigen Teilchen, die auf einer Flüssigkeitsoberfläche schwimmen.

Und sogar über das Händeschütteln kann man sich als Mathematiker Gedanken machen. Es gibt zum Beispiel in der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Beziehungen aller Art zwischen Objekten aller Art befasst, ein Handshake-Theorem – ein Handschlagstheorem. Schauen wir uns das einmal an:

Ein mathematischer Graph besteht aus einer Menge V von verschiedenen Punkten und einer Menge S von Strecken, wobei jede Strecke zwei verschiedene Punkte miteinander verbindet. Man schreibt eine solche Strecke als Paar (P, Q) zweier Punkte und betrachtet (P, Q)  und (Q, P) als dieselbe Strecke. Die Anzahl der Strecken, die von einem Punkt P ausgehen, heißt Grad von P. Das Handschlagstheorem sagt nun unter anderem Folgendes aus: In jedem  Graphen ist die Anzahl der Punkte mit ungeradem Grad gerade.

Die Begründung geht so: Der Grad eines Punktes teilt mit, wie viele Strecken bei ihm enden. Also ist die Summe der Grade aller Punkte gleich der Summe der Streckenenden. Da jede Strecke aber zwei Streckenenden hat, ist die Summe aller Grade eine gerade Zahl. Dies wiederum ist nur möglich, wenn die Anzahl der Punkte mit ungeradem Grad gerade ist. Denn wäre diese Anzahl ungerade, dann wäre es auch die Summe dieser ungeraden Anzahl von ungeraden Graden. Addiert man dazu dann aber die (zwingend gerade) Summe der verbleibenden geraden Grade, ergäbe sich eine ungerade Zahl für die Summe aller Grade. Doch wir hatten anfangs überlegt, dass diese Gesamtsumme gerade ist.

Hört sich ziemlich vertrackt an, diese Begründung. Wie ein mentaler Zungenbrecher. Dabei ist jeder einzelne Satz einfach zu verstehen. Nur in der Gesamtheit werden sie zum sprachlichen Slapstick.

Spätestens jetzt sollte die Frage aufgetreten sein, was das Ganze denn überhaupt mit Händeschütteln zu tun hat. Denn immerhin heißt es Handshake-Theorem. Das ist schnell zu beantworten. Das Theorem kann in dieser Weise ausgedrückt werden: In einer Gruppe von Menschen begrüßen sich einige per Handschlag, andere nicht. Schreibt man für jeden auf, wie viele Hände er geschüttelt hat, dann ist die Summe dieser Zahlen immer gerade. Und die Anzahl von diesen Zahlen, die ungerade sind, ist gerade. Das gilt für jede Gruppengröße und egal wie oft oder wie wenig die Gruppenmitglieder jeweils Hände geschüttelt haben.

Wenn das zum Händeschütteln noch nicht mehr war, als Sie wissen wollten, dann gibt es nun für alle Interessierten noch zwei kleine Rätsel zum Händeschütteln. Das erste leicht, das zweite etwas weniger leicht.

  1. Rätsel: Bei einer Feier schütteln sich zur Begrüßung alle Anwesenden die Hand. Insgesamt gibt es 55-mal Shakehands. Wie viele Personen nehmen an der Feier teil?
  2. Rätsel: Anne und ihr Ehemann Bert nehmen an einem Essen mit vier weiteren Ehepaaren teil. Vorab werden Hände geschüttelt, zwischen je zwei Personen höchstens einmal. Natürlich schüttelt niemand die eigene Hand oder die des Ehepartners, und auch sonst nicht unbedingt mit allen Übrigen. Als Anne beim Tischgespräch die anderen neun Personen fragt, wie viele Hände sie jeweils geschüttelt haben, erhält sie neun verschiedene Antworten. Mit wie vielen Personen hat ihr Ehemann Hände geschüttelt?