Nachdem Sie sich erfolgreich mit den bisherigen drei Teilen (1. Aufgabenzahlen <= 1.000.000; 2. Nachbarschafts- und 3. Steigungsregeln) auseinandergesetzt haben, trennen Sie bis zur „Wurzel-Meisterschaft“ nur noch zwei kleine Schritte: Im vorletzten Teil dieser kleinen Serie geht es um die Elfer-Probe, die Ihnen quasi eine weitere Ergebnisstelle „schenkt“.

Wir betrachten zunächst die dritten Potenzen der Zahlen von 0 bis 11 und untersuchen immer den Elfer-Rest. Der Elfer-Rest ist einfach der ganzzahlige Divisionsrest nach einer Division durch 11. Dieser ist immer zwischen 0 und 10 (jeweils einschließlich).

Beispiel (27): 27 durch 11 ist 2 mit Rest 5. Anders gesagt: 27 ist 5 mehr als 22 (= 2  x 11). Deshalb ist 5 der Elfer-Rest der Zahl 27.

Aus dem ersten Teil kennen wir die dritten Potenzen der Zahlen von 0 bis 10. 11 hoch 3 kennen wir aus dem zweiten Teil:

0 hoch 3 = 0 à        Elfer-Rest (0) = 0 (0 = 0 x 11 + 0)

1 hoch 3 = 1 à          Elfer-Rest (1) = 1 (1 = 0 x 11 + 1)

2 hoch 3 = 8 à         Elfer-Rest (8) = 8 (8 = 0 x 11 + 8)

3 hoch 3 = 27 à       Elfer-Rest (27) = 5 (27 = 2 x 11 + 5)

4 hoch 3 = 64 à       Elfer-Rest (64) = 9 (64 = 5 x 11 + 9)

5 hoch 3 = 125 à      Elfer-Rest (125) = 4 (125 = 11 x 11 + 4)

6 hoch 3 = 216 à     Elfer-Rest (216) = 7 (216 = 19 x 11 + 7)

7 hoch 3 = 343 à     Elfer-Rest (343) = 2 (343 = 31 x 11 + 2)

8 hoch 3 = 512 à     Elfer-Rest (512) = 6 (512 = 46 x 11 + 6)

9 hoch 3 = 729 à     Elfer-Rest (729) = 3 (729 = 66 x 11 + 3)

10 hoch 3 = 1000 à  Elfer-Rest (1000) = 10 (1000 = 90 x 11 + 10)

11 hoch 3 = 1331  à    Elfer-Rest (1331) = 0 (1331 = 121 x 11 + 0)

Betrachten wir obige Liste etwas genauer, sehen wir, dass jeder Elfer-Rest sowohl bei den Basiszahlen (von 0 bis 11) als auch bei den dritten Potenzen (von 0 bis 1331) genau einmal vorkommt. Zusätzlich gelten noch zwei Regeln, deren Beweise ich weglasse:

Regel 1: Wenn die Basiszahl den Elfer-Rest 10, 0 oder 1 hat, gilt das auch für deren dritte Potenz.

Beispiel: Der Elfer-Rest von 10 und 10 hoch 3 ist in beiden Fällen 10 (oder – 1).

Regel 2: Addieren sich für zwei verschiedene Basiszahlen deren Elferreste zu 11 bzw. zu 0, gilt das auch für die beiden zu ihnen gehörenden dritten Potenzen.

Beispiel: Die Elfer-Rest-Summe von 2 und 9 ist 11 bzw. 0. Die Elfer-Rest-Summe von 2 hoch 3 = 8 und 9 hoch 3 = 729 ist ebenfalls 8 + 3 = 11 bzw. 0.

Memotechnisch folgt mit obigen Regeln, dass man sich nur die vier „nicht trivialen“ Elferreste von 2 hoch 3 bis 5 hoch 3 „merken“ muss:  8    5    9    4 (eine vierstellige Zahl).

Alles andere kann abgeleitet werden.

Warum? Den Elfer-Rest von 6 hoch 3 finde ich mit Hilfe des Elfer-Restes von 5 hoch 3: Denn ich weiß mit Regel 2, dass sich diese zu 11 addieren. Wir rechnen mit Regel 2 wie folgt: Elfer-Rest von 6 hoch 3 = 11 – Elferrest von 5 hoch 3 (= 4) = 11 – 4 = 7.

Somit verstehen wir 5 und 6 sowie deren dritten Potenzen als „Elfer-Rest-Paare“.

Gleiches erkennen wir mit den Paaren 7 und 4, 8 und 3, 9 und 2 sowie 10 und 1 (sowie deren dritten Potenzen), womit wir mit dem letzten Paar bei Regel 1 angekommen sind.

Eine gewisse Herausforderung mag die Elfer-Rest-Ermittlung bei großen dritten Potenzen sein, wenn diese sehr viele Stellen aufweisen: Aber auch da gibt es eine einfache Regel, die wir nicht beweisen:

Regel 3: Der Elfer-Rest von 10 hoch (2 x n) ist für alle natürlichen n >= 0 immer 1 und der Elfer-Rest von 10 hoch ((2 x n) – 1) ist für alle natürlichen n > 0 immer 10 bzw. – 1.

Das Beispiel zu Regel 1 kann auch als Beispiel für Regel 3 fungieren: Der Elfer-Rest von 10 und 10 hoch 3 ist in beiden Fällen 10 (oder – 1). Bei 10 (10 hoch 1) haben wir den Exponenten ((2 x n) – 1) mit n = 1. Bei 1000 (10 hoch 3) haben wir den Exponenten ((2 x n) – 1) mit n = 2.

Beispiel 2: Für 100 und 100 hoch 3 haben wir in beiden Fällen den Elfer-Rest 1. Bei 100 (10 hoch 2) haben wir den Exponenten (2 x n) mit n = 1, bei 100 hoch 3 (10 hoch 6) haben wir den Exponenten (2 x n) mit n = 3.

Mit Regel 3 können wir den Elfer-Rest einer großen Zahl spielend errechnen:

Beispiel:  579.246.147

Berechnen Sie den Elfer-Rest.

Lösung: Wir addieren alle ungeraden Stellen (von hinten die letzte, die drittletzte, die fünftletzte usw.) (Regel 3 – erster Teil) und ziehen die geraden Stellen (von hinten die vorletzte, die viertletzte, die sechstletzte usw.) (Regel 3 – zweiter Teil) ab. Die ungeraden Stellen von hinten ergeben addiert 7 + 1 + 4 + 9 + 5 = 26, die geraden Stellen von hinten ergeben addiert 4 + 6 + 2 + 7 = 19. Wir ziehen 19 von 26 ab und erhalten 7. Damit ist 7 der Elfer-Rest von 579.246.147.

Jetzt haben wir alle Vorbereitungen abgeschlossen und können die Elferrest-Rechnung für die dritte Wurzel nutzen. Und das setzen wir dann im fünften und letzten Teil unserer Serie um.

Bis dahin – Ihr Gert Mittring