Nachdem Sie nicht nur aufgehende dritte Wurzeln bis zu 1.000.000 im Kopf berechnen können (Teil 1) und Ihre Freunde damit verblüfft haben, sondern außerdem mit Hilfe der Nachbarschaftsregeln (1) und (2)

(n + 1) hoch 3 – n hoch 3 ist „etwas mehr“ als 3 x n x n und                         (1)

n hoch 3 – (n – 1) hoch 3 ist „etwas weniger“ als 3 x n x n                            (2)

auch größere dritte Wurzeln geknackt haben (Teil 2), sind Sie fit für die nächste, dritte Runde. Heute geht es um die „Steigungsregeln“, mit Hilfe derer Sie spielend einfach auch drei- und mehrstellige Lösungen ohne nennenswertes Rechnen ermitteln können.

Ganz wichtig ist: Jede Endung hat ihre eigene Steigung.

Endung 1:

Wir vergleichen die dritten Potenzen der Zahlen 1, 11, 21, 31 usw. und schauen nur auf die beiden letzten Stellen der Lösung:

1 x 1 x 1 =      01

11 x 11 x 11 = 1331

21 x 21 x 21 = 9261

31 x 31 x 31 =   …91

41 x 41 x 41 =   …21

51 x 51 x 51 =  ….51

Wird die Basiszahl um zehn größer, steigt die dritte Potenz um 30.

Genauer: Sei a e N mit Endung 1, also a = n1 und b = a + 10 e N mit b =(n+1)1.

(n enthält alle Stellen von a – bis auf die Einerstelle 1 und n+1 enthält alle Stellen von b – bis auf die Einerstelle 1.)

Mit b hoch 3 – a hoch 3 = (a + 10) hoch 3 – a hoch 3

= 3 x a x a x 10 + 3 x a x 10 x 10 + 10 x 10 x 10                                               (3)

erkennen wir, dass nur der erste (unterstrichene) Summand von (3) Einfluss auf die Zehnerstelle der dritten Potenz haben kann, denn die anderen beiden Summanden sind Vielfache von 100 bzw. von 1000.

Berücksichtigen wir von a nur die Einerstelle 1 haben wir mit dem ersten Summanden von (3):

3 x …1 x …1 x 10 = …30.                                                                                      (4)

Wir sehen mit (4), dass der Hunderter-Rest der Dritten Potenz immer um 30 größer wird, wenn die Basiszahl um zehn ansteigt. Das Ganze gilt unabhängig von der Größe der anderen Stellen n von a bzw. n+1 von b.

Mit dem Startwert 01 (wegen 1 hoch 3 = 1) haben wir dann die „Steigungsgleichung“.

Endung 1: (01 + 30 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST1)

Mit (3) lassen sich sehr einfach die anderen Steigungsregeln für die anderen Endungen ableiten:

Mit Endung 9 gilt mit (3) die gleiche Regel für Endung 1, nur, dass der Startwert (wegen 9 hoch 3 = 729) 29 ausmacht:

3 x …9 x …9 x 10 = 3 x …1 x 10 = …30.

Endung 9: (29 + 30 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST9)

Ähnliche „Symmetrien“ der Steigungsregeln wie bei 1 und 9 lassen sich für 2 und 8, 3 und 7 und 4 und 6 finden. Bis auf die Startwerte (die sich direkt aus den dritten Potenzen der Zahlen bis 9 ergeben) sind die korrespondierenden Steigungsgleichungen gleich:

Für die Endungen 2 und 8 finden wir mit (3):

3 x …2 x …2 x 10 = …20 und

3 x …8 x …8 x 10 = …20.

Damit haben wir

Endung 2: (08 + 20 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST2) und

Endung 8: (12 + 20 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST8)

Für die Endungen 3 und 7 finden wir mit (3):

3 x …3 x …3 x 10 = …70 (oder – 30) und

3 x …7 x …7 x 10 = …70 (oder – 30).

Damit haben wir

Endung 3: (27 + 70 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST3) und

Endung 7: (43 + 70 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST7)

Für die Endungen 4 und 6 finden wir mit (3):

3 x …4 x …4 x 10 = …80 (oder – 20) und

3 x …6 x …6 x 10 = …80 (oder – 20).

Damit haben wir

Endung 4: (64 – 20 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST4) und

Endung 6: (16 – 20 x Zehnerstelle der Basiszahl) mod 100

= letzte beiden Stellen der Endung der dritten Potenz.

(ST6)

Die Endungen 5 und 0 lassen wir aus Platzgründen weg. Bei der Endung 5 müssten die letzten drei Stellen untersucht werden und die Endung 0 ergibt in der dritten Potenz drei Nullen.

Wir schließen diesen Beitrag mit zwei Beispielen:

1) 3. Wurzel aus 251.239.591 = ? und

2) 3. Wurzel aus 143.877.824 = ?

Zu 1): Offenbar ist Aufgabenzahl-Superkurz = 251. Die Hunderterstelle muss wegen 216 < 251 6 sein. Die Einerstelle ist die 1.

Mit Anwendung von ST1 haben wir

(01 + ? x 30) mod 100 = 91

? = 3. Damit ist die Zehnerstelle die 3 und wir haben die Lösung 631.

Zu 2): Offenbar ist Aufgabenzahl-Superkurz = 143. Die Hunderterstelle muss wegen 125 < 143 5 sein. Die Einerstelle ist die 4.

Mit Anwendung von ST4 finden wir

(64 – ? x 20) mod 100 = 24

? = 2 oder 7. Die Zehnerstelle ist die 2, weil die Aufgabenzahl deutlich näher an 500 hoch 3 liegt als an 600 hoch 3. Wir haben die Lösung 524.

Aufgabe: Versuchen Sie die dritte Wurzel aus 362.467.097 zu ziehen. Welche Steigungsregel führt zum Ziel?

Hinweis: Es lassen sich Steigungsregeln auch für weitere Ergebnisstellen ableiten. Die Komplexität der Regeln nimmt zu und ist irgendwann auch nicht mehr gedächtnisfreundlich.

Viel Spaß bis zum nächsten Mal. Dann kommen wir zur Elferprobe – dem vierten und vorletzten Teil dieser Serie.

Ihr Gert Mittring