Nachdem Sie spielend dritte aufgehende Wurzeln mit Aufgabenzahlen < 1.000.000 im Kopf (ohne echtes Rechnen ;-)) berechnen können, komme ich – wie versprochen – zu den Aufgabenzahlen > 1.000.000. Mit anderen Worten bin ich Ihnen die Lösungen der Aufgaben 3 bis 5 (des August-Beitrages) schuldig. Zur Erinnerung geht es genau um folgende Aufgaben:

  1. Wurzel aus 1.481.544
  2. Wurzel aus 519.718.464 und
  3. Wurzel aus 64.336.588.343

Die erste können Sie genauso lösen, wie Aufgaben mit Aufgabenzahlen <= 1.000.000, wenn Sie die Liste der dritten Potenzen um die „Otto-Zahl“ (in beide Richtungen gelesen die gleiche Zahl)

11 hoch 3 = 1.331 („Otto-Zahl“)

erweitern.

Denn mit Aufgabenzahl-Kurz = 1.481 ist 11 hoch 3 = 1.331 die größte dritte Potenz, die kleiner gleich 1.481 ist. Die „Zehnerstelle“ ist dann die 11. (Das Wort Zehnerstelle steht in Anführungszeichen, weil 11 eine zweistellige Zahl ist.)

Mit dem Einerstellengesetz ergibt sich bei Aufgabe 3 (1.481.544) mit der Endung 4 die Lösungsendung 4.

Insgesamt haben wir:

  1. Wurzel aus 1.481.544 = 114.

Wenn Sie Spaß haben, können Sie auch weitere dritte Potenzen berechnen und obige Liste erweitern.

12 hoch 3:

Wenn ich 12 hoch 3 nicht auswendig weiß oder durch 12 x 12 x 12 berechnen will, kann ich auch mit Hilfe von 6 hoch drei (=216) auf die Lösung kommen. Denn wir haben

12 hoch 3 = (2×6) hoch 3 = (2 hoch 3) x (6 hoch 3) = 8 x 216 = 8 x 200 + 8 x 16 = 1.600 + 128 = 1.728.

Das Wissen „2 hoch 3 = 8“ und „6 hoch 3 = 216“ kann sehr hilfreich sein.

13 hoch 3:

Schwieriger steht es um die nächste dritte Potenz (13 hoch 3), weil 13 eine Primzahl ist – hier nutzt nur die „Nachbarschaftshilfe“:

Haben wir 12 hoch 3 = 1.728, brauchen wir, um 13 hoch 3 zu finden, zu 1.728 nur 3 x 12 x 12 und 3 x 12 und 1 zu addieren:

1.728 + 432 + 36 + 1 = 2.197.

Das hängt mit der binomischen Formel zusammen:

(n + 1) hoch 3 = n hoch 3 + 3 x n hoch 2 + 3 x n hoch 1 + 1

= n x n x n + 3 x n x n + 3 x n + 1.

Damit ergibt sich die Nachbarschaftsregel:

(n + 1) hoch 3 – n hoch 3 = 3 x n x n + 3 x n + 1.                                                        (1)

Schauen wir uns die nächste Aufgabe an:

  1. Wurzel aus 519.718.464

Die Lösung muss dreistellig sein, denn wir haben 1.000 x 1.000 x 1.000 = 1.000.000.000 und unsere Aufgabenzahl ist kleiner.

Die Hunderterstelle finden wir auf die gleiche Weise, wie wir die Zehnerstelle bei Aufgaben mit zweistelliger Lösung gefunden haben – nur gibt es einen Unterschied: Wir arbeiten anstatt mit Aufgabenzahl-Kurz mit Aufgabenzahl-Superkurz, in dem wir die letzten sechs Stellen der Aufgabenzahl streichen:

Aufgabenzahl-Superkurz ist bei unserer Aufgabe die 519.

Somit ist 8 hoch 3 = 512 die größte dritte Potenz, die kleiner gleich 519 ist. Die Hunderterstelle ist dann die 8.

Die Einerstelle finden wir auf die gleiche Weise, wie wir die Einerstelle bei Aufgaben mit zweistelliger Lösung gefunden haben.

Mit dem Einerstellen-Gesetz ergibt sich bei Aufgabe 4 (519.718.464) mit der Endung 4 die Lösungsendung 4.

Insgesamt haben wir:

  1. Wurzel aus 519.718.464 = 8?4.

Die einzige (kleine) Herausforderung ist die Zehnerstelle: Welche Ziffer entspricht dem Fragezeichen?

Hier können mehrere Ansätze verfolgt werden.

Vielleicht können Sie kurz innehalten und Ideen sammeln verbunden mit dem Ziel, die Lösung anstrengungsneutral zu finden.

In diesem Beitrag führe ich den Ansatz der „Nachbarschaftshilfe“ – wie oben angedeutet – weiter aus. Die anderen Ansätze (Steigungsansatz und Elferprobe) folgen in weiteren Beiträgen.

Es gibt so etwas wie eine „grobe Nachbarschaft“. Mit anderen Worten möchte ich den Unterschied benachbarter dritter Potenzen oder Kuben nur annäherungsweise oder grob berechnen, weil das viel einfacher im Kopf ist. Dafür vernachlässige ich in der Nachbarschaftsformel (1) auf der rechten Seite die letzten beiden Summanden und erhalte die „Regel der groben Nachbarschaft“:

(n + 1) hoch 3 – n hoch 3 ist „etwas mehr“ als 3 x n x n.                                                       (2)

Wir wenden (2) an um die Zehnerstelle der Aufgabe 4 zu finden.

Für n = 800 ergibt die Regel der groben Nachbarschaft zu n + 1 = 801 einen Abstand von etwas mehr als 3 x 800 x 800 = 3 x 640.000 = 1.920.000.

Wir wissen, dass mit steigendem n die Abstände benachbarter Kuben stetig zunehmen.

Damit ergibt sich, dass der Abstand zwischen 800 hoch 3 und 810 hoch 3 mindestens das Zehnfache von 1.920.000 ausmacht. Auf jeden Fall mehr als 19.000.000.

Damit wissen wir, dass 810 hoch 3 mehr als 512.000.000 + 19.000.000 = 531.000.000 ausmacht. Viel einfacher – in Aufgabenzahl-Superkurz-Schreibweise – mehr als

512 + 19 = 531 (Millionen-Einheiten).

Nun liegen 519… und 512 nur ca. 7 bis 8 (Millionen-) Einheiten auseinander. Deshalb muss die Zehnerstelle eine 0 sein. Tatsächlich sind die 7 bis 8 (Millionen-) Einheiten ca. 40 % der 19 (Millionen-) Einheiten, was die Einerstelle 4 plausibel erscheinen lässt.

Mit diesen Überlegungen haben wir

  1. Wurzel aus 519.718.464 = 804.

Ganz kurz zum Schluss die letzte Aufgabe:

  1. Wurzel aus 64.336.588.343 = ?

Nach Streichung der letzten neun Stellen verbleibt die 64, die wir als 4 hoch 3 kennen.

Die Lösung liegt deshalb knapp über 4.000 (4.000 x 4.000 x 4.000 = 64.000.000.000). Die Einerstelle der Lösung ist die 7.

Große Frage: Haben wir mit 4.007 die Lösung gefunden?

Mit Hilfe von (2) finden wir leicht, um wie viel über 4.000 die Lösung liegen muss.

Für n = 4.000 ergibt die Regel der groben Nachbarschaft zu n + 1 = 4.001 einen Abstand von etwas mehr als 3 x 4.000 x 4.000 = 3 x 16.000.000 = 48.000.000.

Bis 4.010 hoch 3 haben wir dann einen Abstand von mindestens

10 x 48.000.000 = 480.000.000.

Weil die Aufgabenzahl minus 64.000.000.000 weniger als 480.000.000 ausmacht, muss die Lösung unterhalb von 4.010 sein. Damit haben wir

  1. Wurzel aus 64.336.588.343 = 4.007.

Die Nachbarschaftsmethode funktioniert besonders dann gut, wenn die Lösungen der dritten Wurzeln nahe einer glatten Zahl liegen (zum Beispiel 800 oder 4.000). Mit steigendem n wird die Näherung von (2) immer besser.

Jetzt sind Sie dran!

Übung 1:

  1. Wurzel aus 127.263.527 = ?

Übung 2:

Anmerkung:

Die Nachbarschaftsregel kann auch „nach unten“ angewendet werden:

n hoch 3 – (n – 1) hoch 3 ist „etwas weniger“ als 3 x n x n.                                       (3)

  1. Wurzel aus 994.011.992 = ?

(Die Lösung liegt ein wenig unter 1.000. Mit (3) und der Einerstellen-Regel finden Sie leicht die Lösung.)

Viel Vergnügen beim Lösen der Aufgaben und bis in Kürze.

Ihr Gert Mittring