August Ferdinand Möbius  (1790 – 1868) erblickte am 17. Nov. 1790 in Schulpforta unweit der Stadt Naumburg (Saale) das Licht der Welt. In einem posthum erschienenen Artikel beschreibt er eine merkwürdige topologische Figur, nämlich „ein Band, das keine Rückseite hat.“

Schauen Sie sich folgende Abbildung an:

moebiusband_klein2

Damit wir experimentieren können, sollten wir uns mehrere solche Bänder herstellen.  Einfach einen breiteren Streifen von einem DIN-A4 Blatt abschneiden, dann die beiden Enden zusammen halten, aber vor dem Zusammenkleben ein Ende um 180 Grad drehen.

Malen Sie jetzt mit einem Stift längs dieses Gebildes eine Linie immer weiter, bis Sie wieder am Anfang sind. Was stellen Sie fest? Überall auf dem Streifen ist die Linie gemalt. Wirklich überall. Das bedeutet, dass dieses Gebilde keine zwei Seiten hat. Sie können genauso mit Ihrem Finger am Rand entlang fahren. Nach zwei Umrundungen sind Sie wieder am Anfang, also hat dieses Band auch nur einen Rand. Das ist schon merkwürdig.

Nehmen Sie sich jetzt eine Schere und schneiden Sie das Band längs in der Mitte durch, also folgen Sie mit der Schere in etwa Ihrer zuerst gemalten Linie. Halt, raten Sie bitte zuerst, was dabei entsteht. Eigentlich sollte man zwei Bänder erwarten, weil man ja in der Mitte durchschneidet. Aber welch Erstaunen – es entsteht ein einziges doppelt so großes Band.

Problem: Ist dieses neue Band wieder ein Möbiusband? Überlegen Sie oder prüfen Sie es, indem Sie wieder mit einem Stift eine Linie darauf malen. Sie sollten entdecken, dass dieses neue Band, wie es sich gehört, zwei Seiten hat; denn wenn Sie mit dem Stift wieder zum Ausgangspunkt zurück kehren, haben Sie nur eine Seite bemalt. Wir haben ja auch durch das Schneiden einen neuen Rand hinzugefügt, also hat dieses neue Band zwei Ränder.

Für unser nächstes Experiment sollten Sie ein etwas dickeres Band herstellen. Dies schneiden wir jetzt ca. einen Zentimeter vom linken Rand längs durch. Was entsteht jetzt? Wir müssen wieder quasi zwei Runden schneiden. Dann entstehen zwei Bänder, ein kleines und ein großes, die ineinander verkettet sind.

Das kleinere Band ist einfach der Innenteil des zuvor dicken Bandes. Und es ist natürlich ein Möbiusband. Das große ist der linke und der rechte Rand des dicken Bandes. Da es zwei Ränder hat, ist es kein Möbiusband.

Schon oft haben wir, ohne es zu ahnen, mit  Möbiusbändern hantiert. Haben Sie ein Band für Ihren Schlüsselbund oder für ein Namensschild, das Sie sich um den Hals hängen können? Denken Sie sich das Anhängsel, also den Wurmfortsatz, der den Schlüssel oder das Namensschild hält, mal weg und schauen Sie sich den Rest an. Es ist tatsächlich ein Möbiusband, damit man die Reklame auf dem Band auch schön sichtbar durch die Gegend tragen kann.

Mathematisch interessant und für Ingenieure wichtig ist, dass für solche Bänder der berühmte Divergenzsatz von Gauß und ebenso der Satz von Stokes nicht angewendet werden können. Das zu erklären, müssen wir aber einem Studium der Mathematik überlassen.

(Text entnommen aus meinem Buch: Mathematik ist wirklich überall, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2009)