Silja ist verzweifelt. Seit knapp einer Stunde sitzt sie vor ihrem Rechner. Sie möchte eine ganz individuelle Müslimischung über einen Internetanbieter bestellen, um ihrem morgendlichen Müslieinerlei zu entfliehen. Ihr Freund Thore guckt ihr über die Schulter und fragt, warum sie sich noch immer nicht für eine Mischung entschieden hat. Silja erklärt ihm, dass der Anbieter mit 566 Billiarden unterschiedlichen Mischungen wirbt, die man sich auf Basis der Zutatenlisten zusammenstellen kann. Da kann sie sich einfach nicht entscheiden.

Thore will ihr helfen und zweifelt an, dass es tatsächlich 566 Billiarden Möglichkeiten gibt, sich ein Müsli zusammenzustellen. Diese Zahl erscheint ihm dann doch wohl eher ein Marketinggag zu sein. Silja – nun tatsächlich von ihrem eigentlichen Problem abgelenkt – will es genau wissen. Sie findet eine Erklärung auf der Homepage des Anbieters. Es gibt 10 Basismüslis, aus denen man wählen kann. Ansonsten gibt es 73 weitere Zutaten, aus denen man sein Müsli mit bis zu 18 Zutaten anreichern kann. Jede Zutat kann man auch mehrfach auswählen, um den Anteil im Müsli zu erhöhen, und man kann natürlich auch weniger als 18 Zutaten auswählen. Für die Berechnung der Möglichkeiten bedeutet dies, dass es eine weitere „Zutat“ gibt, nämlich die nichts auszuwählen, was die Gesamtzahl auf 74 erhöht.

Aber wie kommt Silja jetzt auf die gewaltige Gesamtzahl? Starten wir mit den 74 Zutaten, von denen man nun 18 auswählen kann. Man kann die Situation als das Ziehen aus einer Urne auffassen: In der Urne befinden sich 74 durchnummerierte Kugeln, von denen 18 gezogen werden. Die Reihenfolge der Ziehungen soll nicht berücksichtigt werden; schließlich ist es dem Müsli später nicht anzusehen, ob zuerst die Rosinen oder die Nüsse eingefüllt wurden. Aber da die Zutaten mehrfach auftreten können, handelt es sich um ein Experiment „mit Zurücklegen“. Die Frage ist also:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 18 Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen aus einer Urne mit 74 Kugeln zu ziehen?

Solche „Urnenexperimente“ werden oft in der Schule behandelt und einige Formeln werden dort auch ausführlich besprochen und fleißig eingeübt, so zum Beispiel das Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln

Der letzte Fall ist zum Beispiel bei der Analyse von Lotto sehr wichtig und so wird er oft ausführlich behandelt. Aber auch die anderen beiden Fälle werden zum Teil hergeleitet – sei es formal oder über die intuitive Idee.

Aber gerade der für Silja wichtige Fall wird in den meisten einführenden Büchern zumindest hinsichtlich der Idee der Formel nicht behandelt. Formal gilt für diesen vierten Fall beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln

Wie kommt man da auf die Anzahl? Bleiben wir bei unserem Müsli-Beispiel und stellen uns vor, dass wir selbst das Müsli aus den einzelnen Komponenten zusammenstellen müssen und uns dazu übersichtliche Notizen in Form einer Strichliste machen. Dazu sortieren wir die 74 möglichen Zutaten und beginnen mit Zutat 1. Wird diese etwa 3 mal verwendet, beginnen wir mit 3 Strichen III, wird diese gar nicht verwendet, machen wir entsprechend auch keine Striche usw. Dann nutzen wir einen Bindesprich „-“ zur Abtrennung und fahren mit der zweiten Zutat fort usw. Benutzen wir also zum Beispiel 3 mal Zutat 1, 4 mal Zutat 3, 2 mal Zutat 6…, dann hat unsere Notiz die Form III–IIII—II… . Aus diesen Notizen können wir eindeutig die Müsli-Zusammensetzung rekonstruieren. Wir haben dabei insgesamt für die 18 verwendeten Zutaten k = 18 mal „I“ aufgeschrieben und zur Abgrenzung der Zutaten n – 1 = 74 – 1 mal den Bindestrich „-“ zur Trennung verwendet. Insgesamt beinhaltet die Liste also n + k – 1 Symbole, von denen 18 das I sind. Dabei können alle möglichen Anordnungen verwendet werden. Für diese Anzahl kennen wir aber die Formel schon: das sind nk + 1 über k , also nk + 1 über 18 und der Taschenrechner liefert die gewaltige Zahl von „74+18-1 über

Bedenkt man nun noch, dass jede dieser Zutatenkombinationen mit den 10 Basismüslis kombiniert werden kann, dann erhält man 47 Trillionen Möglichkeiten, was sogar gut 80 mal mehr Möglichkeiten als 566 Billiarden sind. Tatsächlich ist die Berechnung des Internetanbieters des Müslis etwas komplizierter, weil er einzelne Kombinationen ausschließt, man erkennt aber schon, dass die Größenordnung vollkommen plausibel ist.

Und Silja – erfreut darüber, dass sie ihre Statistikkenntnisse aus der Schule ein wenig auffrischen konnte – wählt nun doch wohlgemut ihr individuelles Traummüsli aus und wird sich beim morgendlichen Frühstück zukünftig sicher sein, dass ihr Langeweile beim Müsliessen erspart bleiben kann, auch wenn sie nur einen sehr kleinen Teil der vielen möglichen Mischungen wird probieren können.